Преобразование Фурье в оптике обладает физической реализацией. Так, каждая оптическая система при дифракции в когерентных волнах создает соответствие между освещенным объектом и его изображением на плоскости. Эта плоскость определяется законами геометрической оптики. Изображение -- двумерный фурье образ, определяют законы дифракции. Формирование изображений и преобразования Фурье -- проявления явления дифракции.
В задачах оптики интерес вызывает пространственная структура светового поля, которая задается в плоскости в виде функции от координат. Эта функция -- комплексная амплитуда поля.
Спектральное разложение на основании преобразований Фурье дает возможность представить любое поле света как суперпозицию плоских монохроматических волн. Вследствие линейности волнового уравнения каждая волна распространяется независимо от других. Такая ситуация позволяет привести анализ преобразования сложного поля к преобразованию простой волны. Суммарное поле находят как суперпозицию волн, прошедших через дифракционную систему.
Фраунгоферова дифракция как пространственное преобразование Фурье
Допустим, что световая волна плоская, но имеет в поперечном сечении участки с полем равным нулю. Она распространяется и достигает экрана. Пусть поле, которое было бы сзади экрана, если бы строго соблюдались законы геометрической оптики, обозначается $E_0$. Часть плоскости поперечного сечения волны на которой $E_0\ne 0$ будет обозначена $S$. Так как любая такая плоскость будет волновой поверхностью плоской волны, то $E_0=const$ вдоль всей площади $S$. Следует отметить, что волна с ограниченной площадью поперечного сечения не может быть абсолютно плоской. В ее пространственное разложение Фурье войдут компоненты с волновыми векторами разных направлений (именно это является источником дифракции).
Сделаем разложение поля $E_0$ в двумерный интеграл Фурье по координатам y,z в плоскости поперечного сечения волны. Компоненты Фурье имеют вид:
где $q$ -- постоянный вектор в плоскости $YZ$. Фактически интегрирование в (1) ведется по части $S$ плоскости $YZ$, где $E_0\ne 0.$ В том случае, если $\overrightarrow{k}-\ $волновой вектор падающей волны, то полевой компоненте $E_qe^{iqr}$ отвечает вектор, определяемый как:
Получаем, что вектор $\overrightarrow{q}$ определяет изменение волнового вектора при дифракции. Так как абсолютные значения векторов $k'=k=\frac{\omega }{c}$, малые углы дифракции ${\theta }_y,\ {\theta }_z$ в плоскостях $XY$ и $XZ$ определены как:
В случае малых отклонений от геометрической оптики (малые углы отклонения от первоначального направления лучей) составляющие разложения поля $E_0$ можно считать такими же, как компоненты истинного света подвергшегося дифракции, так что формула (1) определяет распределение по направлениям интенсивности дифрагированного света на больших расстояниях от экрана.
Линза как элемент, который реализует преобразование Фурье
Тонкая линза выполняет такое преобразование фазы плоской волны, что она преобразуется в сферическую сходящуюся или расходящуюся волну. При этом распределение амплитуд в фокальной плоскости линзы есть образ Фурье распределения амплитуд на входе в линзу. Точность при этом достаточно велика (масштабные и фазовые множители). Этот факт определен тем, что дифракционная картина в фокальной плоскости линзы описывается формулой:
где
Рисунок 1.
$n$ -- показатель преломления вещества линзы, ${\triangle }_0$ -- максимальная толщина линзы, $\Psi'\left(x',y'\right)-\ $амплитуда волны на входе в линзу, $f$ -- фокусное расстояние линзы.
Задание: Поясните, что такое коэффициент пропускания линзы, как он связан с фокусным расстоянием линзы и коэффициентом преломления вещества, из которого линза изготовлена.
Решение:
Запишем выражение для фазы волны, если $n$ -- показатель преломления вещества линзы, ${\triangle }_0$ -- максимальная толщина линзы, в таком случае полная фаза изменения волны при прохождении пути от левой одной плоскости линзы до другой равно:
\[\varphi \left(x,y\right)=kn\triangle \left(x,y\right)+k\left[\triangle_0-\triangle \left(x,y\right)\right]=k\triangle_0+k(n-1)\triangle (x,y)\left(1.1\right),\]$\triangle \left(x,y\right)$- функция толщины линзы.
Величина $\tau \left(x,y\right)$ определяемая как:
\[\tau \left(x,y\right)=e^{i\varphi (x,y)}\ (1.2)\]называется коэффициентом пропускания линзы. Используя (1.1) получим, что:
\[\tau \left(x,y\right)=e^{ik{\triangle }_0}e^{ik(n-1)\triangle (x,y)}\ \left(1.3\right).\]Для линзы коэффициент пропускания исключительно фазовый. Для фокусного расстояния линзы имеется соотношение вида:
\[\frac{1}{f}=\left(n-1\right)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\to \left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)=\frac{1}{f\left(n-1\right)}\left(1.4\right),\]где $R_1$, $R_2$ -- радиусы кривизны линзы. При расчете функции толщины линзы считаем, что радиус кривизны выпуклой поверхности по ходу луча считают положительным, радиус кривизны вогнутой поверхности -- отрицательным. Для $\triangle \left(x,y\right)$ можно записать:
\[\triangle \left(x,y\right)={\triangle }_0-\frac{x^2+y^2}{2}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\left(1.5\right).\]Тогда выражение для $\varphi (x,y)$ получит вид:
\[\varphi \left(x,y\right)=k{\triangle }_0+k\left(n-1\right)\left({\triangle }_0-\frac{x^2+y^2}{2}\frac{1}{f\left(n-1\right)}\right)=kn{\triangle }_0-k\frac{x^2+y^2}{2}\frac{1}{f}\left(1.6\right).\]В таком случае выражение для $\tau \left(x,y\right)\ $примет вид:
\[\tau \left(x,y\right)=e^{ikn?_0}e^{-ik\frac{x^2+y^2}{2f}}.\]Ответ: $\tau \left(x,y\right)=e^{ikn?_0}e^{-ik\frac{x^2+y^2}{2f}}.$
Задание: На основании результатов, полученных в предыдущем примере, поясните какие величины в выражении для коэффициента пропускания линзы отвечают за преобразование плоской волны в сферическую. При каких условиях волна является расходящейся, при каких сходится?
Решение:
Рассмотрим выражение для коэффициента пропускания линзы, которое представлено как:
\[\tau \left(x,y\right)=e^{ikn{\triangle }_0}e^{-ik\frac{x^2+y^2}{2f}}(2.1).\]Множитель $e^{ikn{\triangle }_0}$ в выражении (2.1) не ведет к искажению формы фронта плоской волны, когда свет проходит через линзу. Множитель $e^{-ik\frac{x^2+y^2}{2f}}$ переводит плоскую волну в сферическую. Эта волна может быть сходящейся или расходящейся. Это обстоятельство зависит от знака экспоненты. Если $f>0$, вторая экспонента в выражении (2.1) отрицательна, то периферические части волны терпят меньшую задержку фазы, чем центр волны в ходе прохождения линзы. Как результат - сходящаяся сферическая волна.
При $f
