Появление лазеров дало возможность проводить эксперименты с интенсивностью пучка света, в котором напряженность электрического поля не является малой в сравнении с атомными (молекулярными) полями. В подобных пучках проявляются существенные нелинейные оптические явления, которые применяются на практике.
Подобные явления связаны с нелинейной зависимостью вектора поляризации вещества ($\overrightarrow{P}$) от напряженности электрического поля ($\overrightarrow{E}$) волны света. Допустим, что вещество однородно и магнитные свойства его и пространственная дисперсия, в данном случае, не существенны. В случае не очень большого поля $\overrightarrow{E}$ вектор поляризации можно разложить по степеням компонент вектора $\overrightarrow{E}$ и ограничить данное разложение несколькими первыми членами:
где ${\alpha }_{ik}$ -- линейная поляризуемость вещества, тензоры ${\alpha }_{jkl}$, ${\alpha }_{jklm}$ -- квадратичная и кубичная поляризуемости. Пусть поле $\overrightarrow{E}$ является монохроматическим, поляризуемость -- функция часты ($\omega $). Для изотропной среды все тензоры ${\alpha}_{jkl}$, ${\alpha }_{jklm},\dots ,\ $являются скалярами.
Статья: Поляризация среды в поле высокоинтенсивного лазерного излучения
В том, случае, если любая точка вещества -- центр симметрии, то поляризуемости четных порядков равны нулю (четность определяют количеством индексов без первого). Если изменить направления всех координатных осей на противоположные, то знаки составляющих напряженности поля изменятся, знак ${\alpha }_{jkl}$ не изменится. Не изменится весь квадратичный член: ${\alpha }_{jkl}E_kE_l$, тогда как знак $P_j$ изменится на противоположный. Для того, чтобы выражение (1) выполнялось в новой системе координат требуется, чтобы выполнялось равенство: ${\alpha }_{jkl}=0.$ Аналогично можно показать, что равны нулю остальные поляризуемости четных порядков.
С существованием квадратичной поляризуемости связано большое число нелинейных оптических явлений. Из выше сказанного следует, что в изотропной среде нелинейные квадратичные эффекты не реализуемы. Однако при качественном рассмотрении подобных эффектов используют модель изотропной среды:
В формуле (2) поляризуемости являются скалярами. При использовании данной модели следует учесть, что в кристаллах в избранном направлении распространяются волны отдельных поляризаций. Выражение (2) применяется для каждой из таких волн. При этом коэффициенты поляризации для разных волн могут быть различными. Мало того, волны разных поляризаций могут взаимодействовать, обмениваться энергией и данные взаимодействия могут быть нелинейными. Подобное взаимодействие возможно при тензорной связи (1) и не реализуемо при скалярной (2).
Разделим вектор поляризации на две части линейную ($\overrightarrow{P_L}$) и нелинейную ($\overrightarrow{P_{NL}}$):
При этом нелинейная часть определена как:
Линейная часть может быть представлена:
В таком случае вектор индукции ($\overrightarrow{D}={\varepsilon }_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}$) можно представить в виде линейной и нелинейной частей:
При этом линейная составляющая вектора индукции равна:
где $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды. Система уравнений Максвелла запишется в виде:
При решении системы уравнений (9)-(12) используют метод последовательных приближений. В нулевом приближении получают обычные уравнения электродинамики. Как нулевое приближение возьмем плоскую волну:
где $\overrightarrow{k}$ -- волновой вектор. Для получения первого приближения в выражении (4) отбрасываем кубичные члены и выше, в квадратичном члене ${\alpha }_2E\overrightarrow{E}$ вектор напряженности заменяем на правую часть (13). В результате получаются неоднородные линейные уравнения, в которых правые части известны и могут толковаться как добавочные источники волн, которые вызваны нелинейностью поляризационной среды. Каждый элемент объема вещества пере излучает волны как диполь Герца с дополнительным дипольным моментом $\overrightarrow{P_{NL}}dV$. Данные излучения накладываются на волну (13), тем самым создают в первом приближении поле:
Второе приближение находят аналогично.
При наличии дисперсии в системе уравнений Максвелла (9-12) в правой части возникнут слагаемые, которые имеют не только исходную частоту ($\omega $), но и частоты $2\omega ,\ 3\omega ,\dots $и другие. Придется искать $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{H}\ $ в виде суммы монохроматических полей, которые имеют те же частоты. Систему Максвелла придется записать для каждой частоты отдельно, сохраняя в правой части только члены той же частоты и используя в качестве $\varepsilon $, диэлектрическую проницаемость для той же частоты.
Задание: Что такое оптическое детектирование?
Решение:
Нелинейная добавка к поляризации вещества:
\[\overrightarrow{P_{NL}}={\alpha }_2E\overrightarrow{E}+{\alpha }_3E^2\overrightarrow{E}+\dots \left(1.1\right).\]в нулевом приближении равна:
\[P_{NL}={\alpha }_2E^2_0={\alpha }_2\frac{A^2}{2}+{\alpha }_2\frac{A^2}{2}{cos 2\left(\omega t-\overrightarrow{k}\overrightarrow{r}\right)\ }\left(1.2\right),\]где первое слагаемое в выражении не зависит от времени. С ним и связано оптическое детектирование, то есть появление в нелинейной среде постоянной электрической поляризации, в случае прохождения через вещество мощного лазерного излучения. Данное явление можно уподобить выпрямлению синусоидального электрического тока.
Такое явление можно наблюдать, если между обкладками конденсатора (одна из обкладок заземлена через сопротивление большой величины) поместить кристалл кварца и пропустить сквозь него пучок света от рубинового лазера. В результате детектирования пучок света возбуждает в цепи конденсатора импульс электрического тока, обнаруживаемый с помощью осциллографа.
Задание: Что представляют собой явления самофокусировки и дефокусировки?
Решение:
Если сквозь однородную среду пропускать мощный пучок света, то вещество становится оптически неоднородным. Луч света в данной среде загибается в сторону с большим показателем преломления. Именно с этим связывают явление самофокусировки если $n_2 >0$ и дефокусировки, если $n_2
Пусть в однородную среду с показателем преломления $n_0$входит плоскопараллельный пучок света кругового поперечного сечения, его диаметр d. В начале считаем, что амплитуда пучка неизменна по сечению. Показатель преломления в пространстве пучка становится равен:
\[n=n_0+n_2A^2\left(2.1\right).\]Будем считать, что $n_2 >0$. В результате дифракции пучок света расширяется. Все лучи находятся в конусе с углом при вершине равным ($\vartheta_{dif}$):
\[\vartheta_{dif}=1,22\frac{\lambda }{dn_0}\left(2.2\right),\]где $\lambda $ -- длина волны в вакууме. Предельный угол скольжения ($\vartheta_0$) при полном отражении от боковой стенки цилиндра определен выражением:
\[{cos \left(\vartheta_0\right)\ }=\frac{n_0}{n_0+n_2A^2}\left(2.3\right).\]Так как угол $\vartheta_0$ мал, то можно положить:
\[1-{cos \left(\vartheta_0\right)\ }\approx A^2\frac{n_2}{n_0}\to \vartheta^2_0=2A^2\frac{n_2}{n_0}\left(2.4\right).\]В случае если $\vartheta_{dif} >\vartheta_0$, то часть лучей, подвергшихся дифракции выходит из цилиндра, то есть пучок расширяется. При $\vartheta_{dif}
