Столкновения тел, движущихся в пространстве, наблюдаются на самых различных масштабах материального мира: от слияния галактик до соударения микрочастиц в коллайдерах. С практической точки зрения теоретическое описание соударений может быть полезно при исследовании технологических процессов (например, кузнечного дела), в горнодобывающей отрасли (разрушение породы), при анализе транспортных происшествий, спортивных игр (футбол, бильярд, теннис) и т.п.
Столкновением называется кратковременное взаимное касание двух движущихся тел.
Теоретические основы описания соударяющихся тел
Силы, действующие на соударяющиеся тела, обусловлены деформацией вещества, из которого они состоят. Вблизи от точки соударения возникают волнообразно распространяющиеся внутри них колебания. Однако для анализа процесса столкновения в первом приближении можно абстрагироваться от этих деформаций и сосредоточиться на исследовании импульсов как интегральных величин, характеризующих силы соударения.
В простейшем случае при прямом столкновении двух шаров с массами $m_1$ и $m_2$ и скоростями $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ можно записать закон сохранения импульса как
$m_1 \cdot \vec{v^\prime_1} + m_2 \cdot \vec{v^\prime_2} = m_1 \cdot \vec{v_{1}} + m_2 \cdot \vec{v_{2}}$, где:
- $\vec{v^\prime_1}$ и $\vec{v^\prime_2}$ - скорости тел до столкновения,
- $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ - скорости после столкновения.
Теперь можно учесть энергию, которая тратится при ударе на деформацию вещества. Она может принимать значение от нуля, в случае, когда шары после соударения разъединяются без потери кинетической энергии, до суммы энергий обоих шаров, когда шары после удара остаются неподвижными. В первом случае принято говорить, что произошел абсолютно упругий удар, во втором - абсолютно неупругий удар. Все виды ударов в физике сводятся к промежуточным ситуациям между этими двумя крайними случаями. Таким образом, формула с учетом затрат энергии на деформацию приобретет вид
$\vec{v_2}$ - $\vec{v_1} = e \cdot (\vec{v^\prime_1}$ - $\vec{v^\prime_2})$,
где $e$ - коэффициент восстановления, принимающий значение от $0$ до $1$.
Эта формула называется гипотезой Ньютона. Таким образом, формула абсолютно упругого удара выглядит как
$\vec{v_2}$ - $\vec{v_1} = 1 \cdot (\vec{v^\prime_1}$ - $\vec{v^\prime_2}) = \vec{v^\prime_1}$ - $\vec{v^\prime_2}$
Формула абсолютно неупругого удара:
$\vec{v_2}$ - $\vec{v_1} = 0 \cdot (\vec{v^\prime_1}$ - $\vec{v^\prime_2}) = 0$
Опыты, в результате которых был выведен коэффициент восстановления, проводил Исаак Ньютон, поэтому вышеприведенная закономерность известна как гипотеза Ньютона, поскольку описывает столкновение на основе эмпирических данных. Более точно по сравнению с гипотезой Ньютона описывает процессы, происходящие в соударяющихся телах, сложная волновая теория Б. Сен–Венана.
Коэффициент восстановления, характеризующий упругий и неупругий удары, зависит в первую очередь от материала, из которого изготовлены шары. Если вещество вязкое (битум, пластилин), то коэффициент будет ближе к нулю, если оно представляет собой, например, закаленную сталь - ближе к единице.
Какой удар называется абсолютно упругим
Кинетическая энергия движущихся, а затем сталкивающихся тел во время удара переходит в потенциальную. Это связано с тем, что деформация является формой аккумулирования энергии, переноса ее внутрь тел (например, в увеличение напряжения связей между молекулами кристаллической решетки). Для удобства математического описания соударений можно считать, что:
- на столкнувшиеся тела не действуют никакие посторонние силы (замкнутая система);
- тела представляют собой шары из одинакового материала, обладающего свойством не терять энергию, затраченную на деформацию;
- тела катятся по горизонтальной плоской поверхности.
Удар, происходящий в отсутствие посторонних сил и при условии, что вся запасенная соударяющимися телами потенциальная энергия будет по окончании соприкосновения вновь преобразована в кинетическую называется абсолютно упругим.
Для понимания процессов, происходящих во время абсолютно упругого удара, проще всего проанализировать центральное соударение шаров, когда векторы скоростей направлены по прямой, проходящей через центры шаров.
После столкновения искаженные в месте удара и стремящиеся прийти в первоначальное состояние участки вещества сообщают обоим телам ускорения в противоположных направлениях. Деформации, разводя шары, уменьшаются до полного исчезновения. Кинетическая энергия, которой располагала система до соприкосновения, вернется в систему и шары начнут двигаться с измененными направлениями и скоростями, но суммарный импульс останется прежним.
Рассмотрим ситуацию, когда один шар покоится, а второй движется на него с некоторой скоростью слева направо, причем вектор его скорости проходит через центр покоящегося шара. При центральном и упругом столкновении возникают силы деформации, направленные вдоль линии касания. Горизонтальная составляющая импульса ударяющего шара меняется, а ранее покоившийся получает ненулевой импульс. После удара второй шар направится направо, а ударяющий может покатиться как направо, так и налево (это зависит от масс шаров и скорости ударяющего).
Выразим закон сохранения импульса для такой замкнутой системы:
$m_1 \cdot v_1 = m_1 \cdot v^\prime_1 + m_2 \cdot v_2$
При абсолютно упругм ударе, соблюдается и закон сохранения энергии:
$\frac{m_1 \cdot v_1^2}{2} = \frac{m_1 \cdot {v_1^\prime}^2}{2} + \frac{m_2 \cdot v_2^2}{2}$
Решив систему из двух уравнений, получим ответ:
$v^\prime_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \cdot v_1$ .
