Математической основой квантовой механики является способ моделирования квантово-механических явлений, позволяющий определять численные значения величин, наблюдаемых в механике квантов.
Математические основы механики квантов созданы:
- Л. де Бройлем, открывшим волны материи;
- В. Гейзенбергом (автором принципа неопределенности и матричной механики);
- Э. Шредингером (уравнение Шредингера);
- Н. Бором (им сформулирован принцип дополнительности).
Завершил создание математических основ механики квантов, придав им современную форму, П. Дирак. Отличительным признаком математических уравнений для квантовой механики считается наличие в них символа постоянной Планка.
Векторы состояний и наблюдаемые величины
Статья: Математические основы квантовой механики
С целью описания физических систем, в квантовой механике в качестве основных характеристик применяются наблюдаемые величины и состояния.
Моделирование наблюдаемых величин осуществляется линейными самосопряжёнными операторами в комплексном пространстве состояний. Каждой физической величине при этом будет соответствовать матрица.
Радиусу-вектору частицы $x$, например, будет соответствовать оператор умножения $x$. Соответствием для импульса частицы выступает оператор:
$\hat {p}=-i \bar{h} \nabla$
Соответствием для момента импульса является оператор:
$\bar{h} \hat {L}=\hat {x}\hat {p}$
Состояния моделируются посредством классов нормированных элементов данного пространства (векторов состояний). Признаком их отличий друг от друга является только комплексный множитель с единичным модулем (это нормированные волновые функции).
Волновые функции соответствуют квантовому принципу суперпозиции. Он заключается в следующем: в случае, если два возможных состояния изображают волновые функции $\psi_1$ и $\psi_2$, может существовать третье состояние:
$\psi=c_1\psi_1+c_2\psi_2$
Здесь $c_1$ и $c_2$ - произвольные амплитуды.
В качестве результата точного измерения физической величины $A$ могут выступатьтолько собственные значения указанного оператора: $\widehat {A}$.
Для вычисления математического ожидания $\bar{A}$ значений величины $A$ в состоянии $\psi$ применима формула:
$bar{A}=(\psi,\widehat {A},\psi)$
В вышеприведенной формуле круглые скобки будут означать скалярное произведение векторов (диагональный матричный элемент). Векторы состояний $\psi_1$ и $\psi_2$ могут описывать одно и то же состояние только если $\psi_2=c\psi_1$
Где $c$ будет произвольным комплексным числом.
Каждая наблюдаемая величина однозначно сопоставляется с линейным самосопряженным оператором. Распределение вероятности для возможных значений наблюдаемой величины $A$ в состоянии $\psi$ определяется формулой:
$dm_\widehat {A}, \psi (a)=d(E_a \psi, \psi)$,
Где $\widehat {A}$ будет самосопряженным оператором, отвечающим наблюдаемой величине $a$, $\psi$ - это вектор состояния, $E_a$ - спектральная функция оператора $\widehat {A}$, круглые скобки здесь означают скалярное произведение векторов.
Уравнения Гамильтона в квантовой механике
Математические основы в квантовой механике представляет уравнение Гамильтона. Матричные элементы операторов существуют для:
- декартовых координат $\widehat {x_i}$;
- операторов импульсов $\widehat {p_i}$.
Они аналогичны уравнениям Гамильтона в классической механике:
$\frac{d}{dt}(f,\widehat {p_i},g)=-(f,\frac{\partial\widehat {H}}{\partial\widehat {x_i}},g)$
$\frac{d}{dt}(f,\widehat {x_i},g)= (f,\frac{\partial\widehat {H}}{\partial\widehat {p_i}},g)$
Где $\widehat {H} представляет оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.\widehat {H} представляет оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.
Уравнение Шредингера
В математических основах квантовой механики эволюцию чистого состояния системы Гамильтона во времени определяет нестационарное уравнение Шредингера:
$i\bar{h}\frac {\partial\psi}{\partial t}=\hat{H}\psi$
здесь $\hat {H}$ это гамильтониан:
$\hat {H}=- \frac {\bar{h}^2}{2m} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac {\partial^2}{\partial y^2}+\frac {\partial^2}{\partial z^2}\right)+\hat {E_pot}$
Стационарные (не изменяющиеся со временем состояния) будут определяться стационарным уравнением Шредингера:
$\hat {H} \psi=E \psi$
При этом, существует предположение, что эволюция квантовой системы представляет марковский процесс, а число частиц является постоянным. Такие положения способствуют созданию математического аппарата с целью описания разнообразного спектра задач в квантовой механике для гамильтоновых систем в чистых состояниях. Дальнейшему развитию этого аппарата способствует квантовая теория поля. Она описывает квантовые процессы с переменным числом частиц.
