Допустим, что граница раздела сред плоская и неподвижная. На нее падает плоская монохроматическая волна:
отражённая волна при этом имеет вид:
для преломленной волны имеем:
отраженная и преломленная волны будут тоже плоскими, и иметь ту же частоту: ωpad=ωotr=ωpr=ω. Равенство частот следует из линейности и однородности граничных условий.
Разложим электрическое поле каждой волны на две компоненты. Одну, находящуюся в плоскости падения, другая в перпендикулярной плоскости. Эти составляющие называют главными составляющими волн. Тогда можно записать:
где →ex,→ey, →ez -- единичные векторы вдоль осей X,Y,Z. →e1, →e′1,→e2 -- единичные векторы, которые находятся, в плоскости падения и перпендикулярны соответственно, падающему, отраженному и преломленному лучам (рис.1). То есть можно записать:
Рисунок 1.
Скалярно умножим выражение (2.а) на вектор →ex, получаем:
Аналогичным путем получают:
Так, выражения (4) и (5) дают x−, y−. z− составляющие электрического поля на границе раздела веществ (при z=0). Если не учитывать магнитных свойств вещества (→H≡→B), то компоненты магнитного поля можно записать как:
Соответствующие выражения для отраженной волны имеют вид:
Для преломленной волны:
Для нахождения Epr⊥, Epr//, Eotr⊥, Eotr// используют граничные условия:
Подставим в выражения (11) формулы (10), получим:
Из системы уравнений (12),учитывая равенство угла падения и угла отражения (αpad=αotr=α) получим:
Отношения, которые стоят в левых частях выражений (13) называют коэффициентами Френеля. Данные выражения формулами Френеля.
При обычном отражении коэффициенты Френеля вещественные. Это доказывает, что отражение и преломление не сопровождает изменение фазы, исключение -- изменение фазы отраженной волны на 180∘. В том случае, если падающая волна является поляризованной, то отраженная и преломленная волны тоже поляризованы.
Получая формулы Френеля, мы полагали свет монохроматическим, однако, если среда не является диспергирующей и происходит обычное отражение, то данные выражения справедливы и для немонохроматических волн. Надо только под составляющими (⊥ и //) понимать соответствующие компоненты напряженностей электрического поля падающей, отраженной и преломленной волн на границе раздела.
Задание: Объясните, почему изображение заходящего солнца при тех же условиях не уступает по яркости самому солнцу.
Решение:
Для объяснения подобного явления используем следующую формулу Френеля:
Eotr⊥Epad⊥=−sin(α−αpr)sin(α+αpr); Eotr//Epad//=tg(α−αpr)tg(α+αpr)(1.1).В условиях скользящего падения, когда угол падения (α) практически равен 90∘ получаем:
Eotr⊥Epad⊥=Eotr//Epad//→−1(1.2).При скользящем падении света коэффициенты Френеля (по модулю) стремятся к единице, то есть отражение получается практически полным. Это объясняет яркие изображения берегов в спокойной воде водоема и яркость заходящего солнца.
Задание: Получите выражение для отражательной способности (R), если так называют коэффициент отражения при нормальном падении света на поверхность.
Решение:
Для решения задачи используем формулы Френеля:
Eotr⊥Epad⊥=n1cos(α)−n2cos(αpr)n1cos(α)+n2cos(αpr), Eotr//Epad//=n2cos(α) −n1cos(αpr) n2cos(α) +n1cos(αpr) (2.1).При нормальном падении света формулы упрощаются и превращаются в выражения:
Eotr⊥Epad⊥=−Eotr//Epad//=n1−n2n1+n2=n−1n+1(2.2),где n=n1n2
Коэффициентом отражения называют отношение энергии отраженной к энергии падающей. При этом известно, что энергия пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно, можно положить, что искомый коэффициент можно найти как:
R=(n−1n+1)2.Ответ: R=(n−1n+1)2.