Бегущими называют волны, переносящие энергию в пространстве. Количественно транспортирование энергии волной определяет вектор плотности потока энергии (вектор Умова - Пойнтинга). Направление данного вектора такое же, как направление распространения энергии. Модуль данного вектора равен энергии, которую переносит волна за $1с$ через площадку, перпендикулярную к направлению движения волны, площадь которой - единица.
Уравнение плоской бегущей волны
Для того чтобы получить уравнение для бегущей волны, можно рассмотреть плоскую гармоническую волну. При этом будем считать, что данная волна распространяется по $оси X$. Тогда поверхности волны перпендикулярны $оси X$, и так как все точки волновой поверхности совершают колебания одинаково, то смещение ($\xi =\xi $(x,t)) будет функцией только координаты $(x)$ и $времени\ (t)$. Уравнение колебаний частиц, принадлежащих плоскости $x$, будут:
\[\xi \left(x,t\right)=Acos\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\left(1\right).\]функция $\xi \left(x,t\right)$ -- периодическая и по времени и по координате $x$. Уравнение (1) называется уравнением бегущей волны. Плоская волна, заданная уравнением (1) перемещается по $оси X$. В том случае, если плоская волна будет перемешаться против направления $оси X$, то ее уравнение запишется:
\[\xi \left(x,t\right)=Acos\omega \left(t+\frac{x}{v}\right)\left(2\right).\]Волну, которая «бежит» по $оси X$, при этом не поглощает энергию, можно охарактеризовать уравнением:
\[\xi \left(x,t\right)=Acos\left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)+{\varphi }_0\right]\left(3\right),\]где $A=const$ -- называется амплитудой, $\omega $ -- носит название циклической частоты волны, ${\varphi }_0$- начальная фаза колебаний, которая определяется выбором начала отсчёта $x$ и $t.$ Выражение $\left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)+{\varphi }_0\right]$ -- называют фазой плоской волны.
Для того чтобы характеризовать волны, используют волновое число ($k$), равное:
Используя волновое число, уравнение (1) можно записать как:
Используя формулу Эйлера, перейдя к комплексным величинам, уравнение плоской волны запишется как:
В уравнении (6) физический смысл имеет только действительная часть, но значок $Re$ при записи уравнения волны часто опускают, имея это ввиду.
Рассмотрим волновой процесс, в котором фаза не изменятся:
Найдем дифференциал от выражения (7), имеем:
Из уравнения (8) следует, что:
Так, скорость ($v$) распространения волны -- это скорость перемещения фазы волны. Такая скорость носит название фазовой скорости.
Из уравнения (4) следует, что:
Если $v$ волны зависима от частоты колебаний, то такая волна подвержена дисперсии.
Уравнение сферической бегущей волны
Сферической волной называют волны, волновые поверхности которых являются концентрическими сферами. Уравнение для подобной волны запишем как:
\[\xi \left(r,t\right)=\frac{A_0}{r}{cos \left(\omega t-kr+{\varphi }_0\right)\ }\left(11\right),\]где $r$ -- расстояние от центра волны то точки рассмотрения. Если мы имеем дело со сферической волной, то амплитуда колебаний не является постоянной, даже если энергия средой не поглощается. Она убывает обратно пропорционально расстоянию. Уравнение (8) выполняется только для случаев, когда источник волн можно считать точечным.
Уравнение бегущей волны в любом виде подчиняeтся волновому уравнению.
Задание: В вакууме по $оси X$ бежит плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля этой волны равна $E_m$. Какова амплитуда напряженности магнитного поля данной волны?
Решение:
За основу решения задачи примем соотношение для амплитуд электромагнитной волны:
\[\sqrt{\varepsilon {\varepsilon }_0}E=\sqrt{\mu {\mu }_0}H\left(1.1\right).\]Уравнение колебаний модуля $\overrightarrow{E}$ в электромагнитной волне, в случае если она плоская и распространяется по $оси X$, запишется как:
\[E=E_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(1.2\right).\]Уравнение колебаний $\overrightarrow{H\ }$в электромагнитной волне, в случае если она плоская и распространяется по $оси X$, запишется как:
\[H=H_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(1.3\right).\]Так как по условиям задачи волна распространяется в вакууме, то $\varepsilon =1,\ \mu=1.$ Используя уравнение (1.1), (1.2) и (1.3), получим:
\[\sqrt{{\varepsilon }_0}E_m=\sqrt{{\mu }_0}H_m\to H_m=\sqrt{\frac{{\varepsilon }_0}{{\mu }_0}}E_m.\]Ответ: $H_m=\sqrt{\frac{{\varepsilon }_0}{{\mu }_0}}E_m.$
Задание: Электромагнитная плоская волна распространяется в вакууме по $оси x$, она падает перпендикулярно на поверхность тела, тело волну полностью поглощает. Амплитуда напряженности магнитного поля волны равна $H_m.$ Какое давление волна оказывает на тело?
Решение:
При решении задачи следует учесть, что на тело полностью поглощающее падающую на него энергию, оказывается давление равное среднему значению объемной плотности энергии в электромагнитной волне, которая падает.
Для решения задачи используем соотношение для амплитуд электромагнитной волны:
\[\sqrt{\varepsilon {\varepsilon }_0}E=\sqrt{\mu {\mu }_0}H\left(2.1\right).\]Уравнение колебаний $E$, в случае плоской волны и распространяющейся по $оси X$ запишется как:
\[E=E_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(2.2\right).\]Уравнение колебаний $H$, в случае плоской волны и распространяющейся по $оси X$ запишется в виде:
\[H=H_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(2.3\right).\]При этом объемная плотность электрической энергии равна:
\[w_E=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}\left(2.4\right),\]плотность энергии магнитного поля:
\[w_H=\frac{\mu {\mu }_0H^2}{2}\left(2.5\right).\]При этом $w_E=w_H.\ $Или можно записать, что:
\[w=w_E+w_H=2w_H=\mu {\mu }_0H^2=\mu {\mu }_0{H_m}^2{cos^2 \left(\omega t-kx\right)\left(2.6\right).\ }\]Усредним плотность энергии, получим:
\[\left\langle w\right\rangle =\left\langle \mu {\mu }_0{H_m}^2{cos^2 \left(\omega t-kx\right)\ \ }\right\rangle \left(2.7\right).\]Зная, что $\left\langle {cos^2 \left(\omega t-kx\right)\ \ }\right\rangle =\frac{1}{2}$, получим:
\[p=\left\langle w\right\rangle =\frac{\mu {\mu }_0{H_m}^2}{2}.\]Ответ: $p=\left\langle w\right\rangle =\frac{\mu {\mu }_0{H_m}^2}{2}.$
