Явление внутреннего трения
Явление внутреннего трения (вязкости) связано с возникновением сил трения между двумя слоями газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг относительно друга с различными скоростями. Причиной вязкости является перенос молекулами импульса из одного слоя газа в другой (поперек направления движения слоев) (рис.1).
Рис. 1
В потоке газа молекулы участвуют в двух движениях одновременно: тепловом (хаотическом) со средней скоростью ⟨→v⟩ и упорядоченном со скоростью потока →v. Скорость теплового движения гораздо больше, чем скорость потока.
В результате теплового движения молекулы перелетают из одного слоя вещества в другой, переносят при этом свой импульс. В неподвижном газе средний импульс молекулы равен 0. Молекула в потоке газа обладает отличным от нуля импульсом. В результате обмена молекулами импульс упорядоченного движения быстрее движущегося слоя уменьшается, а другого наоборот. Слой вещества, который движется быстрее, тормозится, а медленный ускоряется. Уравнение Ньютона для вязкости в одномерном случае (v=v(x)):
dF- сила внутреннего трения, действующая на площадку dS поверхностного слоя, dvdx- проекция градиента скорости движения слоев на направление оси Ox, в направлении перпендикулярном к поверхности слоя, η- коэффициент вязкости. Сила трения Fτ, отнесенная к площади трущихся поверхностей равна потоку импульса упорядоченного движения частиц в перпендикулярном направлении к скорости. Используем основное уравнение для явлений переноса. В нашем случае G=mv, следовательно:
где η=13n0⟨v⟩⟨λ⟩m=13ρ⟨v⟩⟨λ⟩ -- динамическая вязкость, ρ=n0m -- плотность газа. Знак Fτ учитывает, что сила трения, действующая на более быстрые слои, направлена против скорости. Динамическая вязкость не зависит от давления и растет, в основном, пропорционально √T. Более точные теоретические расчеты приводят к замене множителя 13 на коэффициент, который зависит от характера взаимодействия молекул. Для молекул, сталкивающихся, как гладкие шары, он равен 0,499. Вообще этот коэффициент зависит о температуры.
Кинематическая вязкость
Наряду с динамической вязкостью используют и кинематическую вязкость:
Согласно кинетической теории газов между коэффициентами переноса существует связь:
где cV- удельная теплоемкость газа при изохорном процессе. На практике используется более точное соотношение коэффициентов переноса:
где α- множитель, зависящий от числа степеней свободы молекулы газа. Так для одноатомной молекулы газа α=2,5, двухатомного α=1,9, трехатомного α=1,5−1,75.
Задание: Определить коэффициент вязкости газа с молярной массой μ при температуре T. Эффективный диаметр молекулы газа принять равным d.
Решение:
Запишем формулу для определения коэффициента вязкости:
η=13ρ⟨v⟩⟨λ⟩ (1.1).Плотность газа определим из уравнения Менделеева -- Клайперона:
pV=mμRT→ρ=mV=pμRT(1.2)Подставим (1.2), (1.3) в (1.1), получим:
η=13pμRT√8RTπμkT√2πd2p=13πNAd2√4RTμОтвет: Вязкости газа заданных параметров η=13πNAd2√4RTμ.
Задание: Газ заполняет пространство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами, радиусы которых R1 и R2, причем R1$
Решение:
Рис. 2
По определению момента сил Mtr вращающегося тела запишем:
Mtr=Ftrr (2.1)C другой стороны при длине цилиндра равной l по условию задачи:
Mtr=N1⋅l (2.2),Кроме того из условия задачи имеем:
Ftr=σ△S = η⋅r dωdr2πrl=2ηπr2ldωdr (2.3)Тогда
Mtr=2ηπr3ldωdr=N1⋅l→2ηπr3dωdr=N1(2.4)Разделим переменные в уравнении (2.4), получим:
ηdω=N12πdrr3 (2.5)Проинтегрируем обе части уравнения по соответствующим переменным:
η∫wc0dω=N12π∫R2R1drr3 (2.6)Ответ: Коэффициент вязкости газа будет η=N14πwc(1R12−1R22).