Что такое идеальный газ
Прежде чем знакомиться, с уравнением определим, что такое идеальный газ, состояние которого оно описывает. Идеальный газ самая простая модель системы многих частиц. Он состоит из упругих шаров, обладающих массой и такими размерами, что их можно считать материальными точками. Важное свойство, которое выполняется для движения молекул идеального газа -- это то, что точечные частицы испытывают только лобовые соударения, которые подчиняются законам упругого удара. Наиболее близко свойствам идеального газа соответствуют газы, находящиеся под низким давлением. Модель идеального газа позволяет довольно просто математически описать процессы и явления, которые происходят в действительности, если использовать некоторые ограничения. Мы будем постоянно обращаться к этой модели в ходе рассмотрения молекулярно -- кинетической теории и термодинамики.
Состояние идеального газа
Состояние идеального газа определяют совокупностью нескольких параметров, важнейшими из них являются давление (p), объем (V), температура по шкале Кельвина (T), масса (m). Параметры состояния связаны друг с другом. Уравнение, которое устанавливает эту связь, называется уравнением состояния идеального газа. Это уравнение можно записать в нескольких видах.
В параметрах p(T):
$p=nkT$ (1),
где $k=1,38 \cdot 10{-23}Дж/К$ -- постоянная Больцмана,
n - число молекул в единице объема газа.
В виде, так называемого уравнения Менделеева -- Клайперона:
$pV=\frac{m}{\mu }RT\ ;\ \ pV=\nu RT\ $(2),
где R= k $N_A=$8,3 Дж/(моль$\cdot $К) -- молярная (универсальная) газовая постоянная, $\mu $ -- молярная масса газа, $\nu $- количество молей газа, $N_A=6,02\cdot {10}^{23}\frac{1}{моль}\ $- постоянная Авогадро.
Если ввести понятие молярного объема:
уравнение состояния (2) можно записать еще в одном виде:
Иногда вместо массы газа рассматривают число его молекул (N) в заданном объеме, тогда удобнее уравнение (2) использовать в виде:
$pV=NkT$(5)
Таким образом, уравнения (1), (2), (3), (4), (5) -- различные формы записи одного и того же уравнения состояния идеального газа.
Задание: В баллоне объемом V при температуре T находится смесь идеальных газов, которая содержит три компоненты с количествами молей: ${\nu }_1,\ {\nu }_2,{\nu }_3$. Считая газы идеальными, найдите:
- давление смеси;
- среднюю молярную массу смеси, если известны молярные массы каждой компоненты смеси $({\mu }_1,\ {\mu }_2,{\mu }_3)$.
Решение:
В качестве основания для решения используем уравнение состояния идеального газа в виде уравнения Менделеева -- Клайперона:
\[pV=\nu RT\ \left(1.1\right).\]Зная количество молей каждой компоненты газа, легко найти количество молей смеси:
\[\nu =\nu_1+\nu_2+\nu_3\left(1.2\right).\]Выразим из (1.1) давление, подставив (1.2), получим:
\[p=\frac{\left({\nu }_1+{\nu }_2+{\nu }_3\right)RT}{V}\left(1.3\right).\]Для нахождения средней молярной массы смеси запишем уравнение Менделеева -- Клайперона в немного другом виде:
\[pV=\frac{m}{\mu }RT\ \left(1.4\right),\]где m -- масса смеси, которую найдем как:
\[m=m_1+m_2+m_3={\nu }_1{\mu }_1+{\nu }_2{\mu }_2+{\nu }_3{\mu }_3\left(1.5\right).\]В (1.4) подставим (1.3) и (1.5), получим:
\[\frac{\left({\nu }_1+{\nu }_2+{\nu }_3\right)RT}{V}V=\frac{{\nu }_1{\mu }_1+{\nu }_2{\mu }_2+{\nu }_3{\mu }_3}{\mu }RT\to \ \left({\nu }_1+{\nu }_2+{\nu }_3\right)=\frac{{\nu }_1{\mu }_1+{\nu }_2{\mu }_2+{\nu }_3{\mu }_3}{\mu }\to \] \[\mu =\frac{{\nu }_1{\mu }_1+{\nu }_2{\mu }_2+{\nu }_3{\mu }_3}{{\nu }_1+{\nu }_2+{\nu }_3}\left(1.6\right)\]Ответ: а) Давление смеси при заданных условиях равно $p=\frac{\left({\nu }_1+{\nu }_2+{\nu }_3\right)RT}{V}.\ $ б) Средняя молярная масса смеси $\mu =\frac{{\nu }_1{\mu }_1+{\nu }_2{\mu }_2+{\nu }_3{\mu }_3}{{\nu }_1+{\nu }_2+{\nu }_3}.$
Задание: Найдите максимально возможную температуру 1 моля идеального газа в процессе $p=p_0{exp \left(-\frac{V}{V_0}\right)\ },$ где $p_0=1Па$, $V_0=68,1\ л$.
Решение:
Сначала переведем заданное уравнение процесса в параметры T(V). Для этого из уравнения состояния:
\[pV=\nu RT\ \left(2.1\right).\]Выразим давление:
\[p=\frac{\nu RT}{V}\ \left(2.2\right).\]Подставим давление в уравнение процесса, получим уравнение процесса в параметрах Т(V):
\[\frac{\nu RT}{V}=p_0{exp \left(-\frac{V}{V_0}\right)\ }\to T(V)=\frac{p_0V}{\nu R}{exp \left(-\frac{V}{V_0}\right)\ }\ (2.3)\]Для того, чтобы найти максимум функции $T(V)$, как положено в математике, найдем ее производную $\frac{dT}{dV}$ и приравняем ее к нулю:
\[\frac{dT}{dV}=\frac{p_0}{нR}{(exp \left(-\frac{V}{V_0}\right)-\ }\frac{V}{V_0}{exp \left(-\frac{V}{V_0}\right)\ })=\frac{p_0}{нR}{exp \left(-\frac{V}{V_0}\right)\ }\left(1-\frac{V}{V_0}\right)=0(2.4)\]В произведении (2.4) нулю может быть равен нулю только множитель:
\[1-\frac{V}{V_0}=0\to V=V_0\left(2.5\right).\]Производная $\frac{dT}{dV}=0$ при V=$V_0$, следовательно, температура максимальна в этой точке.
\[T_{max}=\frac{p_0V_0}{\nu R}{exp \left(-\frac{V_0}{V_0}\right)=\ }\frac{p_0{\cdot V}_0}{\nu \cdot R\cdot e}\ \left(2.6\right).\]Переведем в СИ объем $V_0=68,1\ л=6,81•10^{-2}м^3$.
Проведем расчет:
\[T_{max}=\frac{1\cdot 68,1\cdot 10^{-3}}{1\cdot 8,31\cdot 2,7}=3,3•10^{-3}\ (К)\]Ответ: Максимальная температура в заданном процессе равна $3,3\cdot 10^{-3}\ К$
