Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Эффект Джоуля-Томпсона

Что такое дросселирование газа

Прежде, чем перейти непосредственно к описанию эффекта, определимся с процессом, при котором он происходит.

Дросселированием газа называется процесс, при котором уменьшается его давление при адиабатном прохождении этим газом через узкое отверстие (или отверстия). Этот процесс необратим и сопровождается возрастанием энтропии. Энтальпия при этом не изменяется (в уравнении (1), например, это будет отражено индексом H).

Определение

Эффектом Джоуля -- Томпсона называется процесс изменения температуры газа при дросселировании. Этот эффект можно описать дифференциальным уравнением, которое имеет вид:

\[{\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H=\frac{1}{C_p}\left[T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V\right]\left(1\right)\]

Это уравнение выполняется при небольшом перепаде давлений от p до p+dp.

Положительный и отрицательный эффект Джоуля-Томпсона

Эффект Джоуля -- Томпсона может быть

отрицательным, когда:

\[T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V 0(2);\]

положительным, если:

\[T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V > 0,\ dT В том случае, если: \[T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V=0,\ dT=0(4);\]

эффекта Джоуля Томпсона нет. В идеальном газе этого эффекта нет никогда.

В реальном газе всегда борются силы притяжения и отталкивания между частицами. Если давление изменяется, и средняя энергия взаимодействия молекул уменьшается, то температура газа растет. Этим определяется знак дифференциального эффекта.

Температуру, при которой эффект изменят знак, называют температурой инверсии, причем она имеет вид:

\[T_{inv}=V{\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)}_p\left(5\right).\]

Напомним, что индексы внизу за скобками означают постоянство той или иной величины в проходимом процессе.

Эффект Джоуля Томпсона можно записать в интегральном виде:

\[\triangle T=-\frac{\triangle U_p}{C_V}-\frac{\triangle \left(pV\right)}{C_V}\ \left(6\right),\]

где данный эффект наблюдается при конечном перепаде давления в дросселе. $\triangle U_p$- изменение потенциальной энергии взаимодействия молекул.

Знак интегрального эффекта также может быть различным. Он определяется знаком дифференциального эффекта в области изменения параметров, которые дают преимущественный вклад в эффект.

Количественно эффект Джоуля Томпсона характеризуется дифференциальным коэффициентом, с соответствующим названием, который определяется как:

\[{\alpha }_H={\left(\frac{dT}{dp}\right)}_H\left(7\right),\]

индекс H обозначает постоянство энтальпии.

«Эффект Джоуля-Томпсона» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Пример 1

Задание: Выведите формулу коэффициента Джоуля -- Томпсона (Дж -- Т).

Решение:

Запишем формулу - определение коэффициента Дж -- Т:

\[{\alpha }_H={\left(\frac{dT}{dp}\right)}_H\left(1.1\right)\]

Так как мы знаем, что эффект Джоуля -- Томпсона происходит при постоянной энтальпии, а энтальпия по определению:

\[H=U+pV\ \left(1.2\right),\]

следовательно, можно записать, что:

\[dH=d\left(U+pV\right)=0\ \left(1.3\right),\]

Проведем дифференцирование выражения энтальпии, получим:

\[d\left(U+pV\right)=dU+pdV+Vdp=0\ \left(1.4\right).\]

Так как мы знаем, что:

\[dU+pdV=TdS\ \left(1.5\right),\]

где $dS$- изменение энтропии, то перепишем (1.4) в виде:

\[TdS+Vdp=0\ (1.6)\]

Выразим dS через dT и dp, исходя из определения энтропии это довольно просто, поэтому в данном случае приведем результат:

\[dS=\frac{C_pdT}{T}-{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_pdp(1.7)\]

Подставим (1.7) в (1.6), получим:

\[C_pdT-T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_pdp+Vdp=0\ (1.8)\]

Из (1.1) мы знаем, что искомый коэффициент есть производная температуры по давлению, поэтому перепишем уравнение (1.8) в виде:

\[C_p\frac{dT}{dp}-T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p+V=0\ (1.9)\]

Из (1.9) выразим $\frac{dT}{dp}$, получим:

\[{\alpha }_H={\left(\frac{dT}{dp}\right)}_H=\frac{T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V}{C_p}=\frac{V}{C_p}\left(\beta T-1\right)\ \left(1.10\right),\]

где $\beta =\frac{1}{V}{\left(\frac{?V}{?T}\right)}_p$ -- коэффициент расширения газа. Все величины, которые входят в уравнение (1.10), могут быть измерены или рассчитаны.

Ответ: Формула коэффициента Джоуля -- Томпсона имеет вид: ${\alpha }_H={\left(\frac{dT}{dp}\right)}_H=\frac{T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V}{C_p}=\frac{V}{C_p}\left(\beta T-1\right).$

Пример 2

Задание: Получите формулу эффекта Джоуля -- Томпсона для газа Ван-дер-Ваальса. Рассмотреть случай разреженного газа.

Решение:

За основу решения возьмем дифференциальную форму эффекта Джоуля - Топмсона:

\[{\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H=\frac{1}{C_p}\left[T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V\right]\ (2.1)\]

и вириальную форму уравнения Ван-дер-Ваальса:

\[pV=RT+\frac{RTb-a}{V}+RT\sum\limits^{\infty }_{n=2}{\frac{{b^n}}{V^n}}(2.2)\]

В случае разреженного газа в вириальном уравнении (2.2) можно оставить только линейные члены:

\[pV=RT+\frac{RTb-a}{V}\left(2.3\right).\]

Выразим из (2.3) объем:

\[V=\frac{RT}{p}+\frac{RTb-a}{pV}\ \left(2.4\right).\]

Во втором слагаемом уравнения (2.4) можно используя уравнение состояния идеального газа (для 1 моль) заменить pV на RT, так как в уравнение вносятся лишь поправки более высокого порядка по a и b, тогда (2.4) получим вид:

\[V=\frac{RT}{p}+\frac{RTb-a}{RT}=\frac{RT}{p}+b-\frac{a}{RT}\left(2.5\right)\]

Возьмем производную ${\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p:$

\[{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p=\frac{R}{p}+\frac{a}{RT^2}\left(2.6\right)\]

следовательно, формула для дифференциального эффекта примет вид:

\[{\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H=\frac{1}{C_p}\left[T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p-V\right](2.7)\] \[{\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H=\frac{1}{C_p}\left(\frac{TR}{p}+\frac{Ta}{RT^2}-\frac{RT}{p}-b+\frac{a}{RT}\right)=\frac{1}{C_p}(\frac{2a}{RT}-b)(2.8)\]

Ответ: Формула эффекта Джоуля -- Томпсона для газа Ван-дер-Ваальса имеет вид:

\[{\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H=\frac{1}{C_p(\frac{2a}{RT}-b)}.\]
Дата последнего обновления статьи: 22.01.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot