Равноускоренное движение

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

При рассмотрении движения тела с ускорением особого внимания заслуживает движение тела с ускорением, постоянным по величине и направлению. Такое движение по определению является поступательным - поскольку вектор скорости, как и вектор ускорения, имеет постоянное направление, и траектория тела является прямой линией.

Определение

Движение тела с ускорением, постоянным по величине и направлению, называют равнопеременным движением, и подразделяют его на равноускоренное -- когда $\overrightarrow{a}>0$, и равнозамедленное -- когда $\overrightarrow{a}

При равноускоренном движении мгновенное ускорение равно среднему ускорению: $\overrightarrow{\ a}=\left\langle \overrightarrow{а}\right\rangle =\frac{\triangle v}{\triangle t}=const$, где $\triangle \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_0$ -- приращение скорости за время $\triangle t=t-t_0$, ${\overrightarrow{v}}_0=\overrightarrow{v}\left(t_0\right)$ -- начальная скорость, $t_0$ -- начальный момент времени.

График скорости при равноускоренном движении

Рисунок 1. График скорости при равноускоренном движении

Скорость равноускоренного движения $\overrightarrow{v}\left(t\right)$ в момент времени t определяется из соотношения

\[\overrightarrow{v}\left(t\right)={\overrightarrow{v}(t}_0)+\overrightarrow{a}\left(t-t_0\right)={\overrightarrow{v}}_0+\overrightarrow{a}\triangle t\Longleftrightarrow \ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} {\overrightarrow{v}}_x\left(t\right)={{\overrightarrow{v}}_x(t}_0)+{\overrightarrow{a}}_x\left(t-t_0\right)={{\overrightarrow{v}}_x}_0+{\overrightarrow{a}}_x\triangle t\ \\ {\overrightarrow{v}}_y\left(t\right)={{\overrightarrow{v}}_y(t}_0)+{\overrightarrow{a}}_y\left(t-t_0\right)={{\overrightarrow{v}}_y}_0+{\overrightarrow{a}}_y\triangle t \\ {\overrightarrow{v}}_z\left(t\right)={{\overrightarrow{v}}_z(t}_0)+{\overrightarrow{a}}_z\left(t-t_0\right)={{\overrightarrow{v}}_z}_0+{\overrightarrow{a}}_z\triangle t \end{array} \right.\]

где $a_x,\ a_y,a_z$ --- проекции вектора $\overrightarrow{a}$ на оси координат.

Уравнение для траектории движения $\overrightarrow{r}\left(t\right)$ имеет вид:

\[\overrightarrow{r}\left(t\right)=\overrightarrow{r}\left(t_0\right)+v\left(t_0\right)\left(t-t_0\right)+\frac{\overrightarrow{a}}{2}{\left(t-t_0\right)}^2\]

Связь между параметрами равноускоренного движения

Рисунок 2. Связь между параметрами равноускоренного движения

Учитывая, что равноускоренное движение есть движение поступательное, описывающие его уравнения в векторной и скалярной форме идентичны.

Считая, что t0 = 0, получаем следующие формулы для вычисления пути, пройденного телом при равноускоренном движении за время $t$:

\[s=v_0t+\frac{at^2}{2}=\frac{v_0+v}{2}t=\frac{v^2-v^2_0}{2a}\]

Скорость при равноускоренном движении:

\[v=v_0+at=\sqrt{v^2_0+2as}\]

Средняя скорость равноускоренного движения за время t:

\[\left\langle v\right\rangle =\frac{v_0+v}{2}=v_0+\frac{at}{2}=\frac{s}{t}\]

Время движения при равноускоренном движении:

\[t=\frac{2s}{v_0+v}=\sqrt{\frac{2s}{a}+{\left(\frac{v_0}{a}\right)}^2}-\frac{v_0}{a}\]

Ускорение при равноускоренном движении:

\[a=\frac{v^2-v^2_0}{2s}=2\left(\frac{s}{t^2}-\frac{v_0}{t}\right)\]

Задача 1

Построить графики зависимости скорости от времени при следующих начальных условиях.

$$I:\ {\upsilon ~}_0=~--2\ {м}/{с},\ \ \ \ a~=\frac{1}{2}~~{м}/{с^2},\ \ \ t=4\ c\ $$ $$ $II:\ {\upsilon }_0~=~3~{м}/{с},\ a~=~--\frac{1}{3}~{м}/{с^2}$, t = 5,5 c $$

Показать на этом графике перемещение вычислить его при заданном значении времени $t$

Решение

Показать на этом графике перемещение вычислить его при заданном значении времени t

Рисунок 3. \[s_1=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left(v-v_0\right)t=\frac{0-\left(-2\right)}{2}\times 4=4\ м;;\ \ \ \ \]\[\ s_2=S_{ODEF}=v_0t+\frac{at^2}{2}=3\times 5,5-\frac{{5.5}^2}{3\times 2}=11,46\ м\]

Задача 2

Материальная точка движется по прямой.

Определить мгновенную скорость и среднюю скорость в конце второй секунды от начала движения, и путь, пройденный за это время.

Решение

\[s\ =v_0t+at^2=5\times 2+2\times 2^2=18\ м\]

\[v=v_0+at=5+2\times 2=9{м}/{c}\]

\[\left\langle v\right\rangle =\frac{v-v_0}{2}=\frac{9-5}{2}=2{м}/{c}\]

Дата последнего обновления статьи: 16.11.2024