При движении материальной точки изменяются ее координаты. Координаты могут изменяться быстро или медленно. Физическая величина, которая характеризует быстроту изменения координаты, называется скоростью.
Средняя скорость -- это векторная величина, численно равная перемещению в единицу времени, и сонаправленная с вектором перемещения:⟨v⟩=△r△t ; ⟨v⟩↑↑△r
Рисунок 1. Средняя скорость сонаправлена перемещению
Mодуль средней скорости по пути равен: ⟨v⟩=S△t
Мгновенная скорость дает точную информацию о движении в определенный момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» с точки зрения физики не является корректным. Однако понятие мгновенной скорости очень удобно в математических расчетах, и им постоянно пользуются.
Мгновенная скорость (или просто скорость) есть предел, к которому стремится средняя скорость ⟨v⟩ при стремлении промежутка времени △t к нулю:
v=lim△t△r△t =drdt=˙r (1)
Вектор v направлен по касательной к криволинейной траектории, так как бесконечно малое (элементарное) перемещение dr совпадает с бесконечно малым элементом траектории ds.
Рисунок 2. Вектор мгновенной скорости v
В декартовых координатах уравнение (1) эквивалентно трем уравнениям
{vx=dxdt=˙xvy=dydt=˙yvz=dzdt=˙z (2)Модуль вектора v в этом случае равен:
v=|v|=√v2x+v2y+v2z=√x2+y2+z2 (3)Переход от декартовых прямоугольных координат к криволинейным осуществляется по правилам дифференцирования сложных функций. Пусть радиус-вектор r есть функция криволинейных координат: r=r(q1,q2,q3) . Тогда скорость v=drdt=∑3i=1∂r∂qi∂qi∂t=∑3i=1∂r∂qi˙qi
Рисунок 3. Перемещение и мгновенная скорость в системах криволинейных координат
В сферических координатах, полагая q1=r; q2=φ; q3=θ, получаем представление v в следующий форме:
v=vrer+vφeφ+vθeθ, где vr=˙r; vφ=r˙φsinθ;; vθ=r˙θ ;; ˙r=drdt;; ˙φ=dφdt;; ˙θ=dθdt;v=r√1+φ2sin2θ+θ2Мгновенная скорость - это значение производной от функции перемещения по времени в заданный момент времени, и связана с элементарным перемещением следующим соотношением: dr=v(t)dt
Закон движения точки по прямой: x(t)=0,15t2−2t+8. Найти мгновенную скорость точки через 10 секунд после начала движения.
Решение
Мгновенная скорость точки -- это первая производная радиус-вектора по времени. Поэтому для мгновенной скорости можно записать:
v(t)=˙x(t)=0.3t−2;;v(10)=0.3×10−2=1 м/сОтвет: Через 10 с после начала движения мгновенная скорость точки 1 м/с.
Движение материальной точки задано уравнением~ x=4t−0,05t2. Определить момент времени tост., в который точка остановится, и среднюю путевую скорость ⟨v⟩.
Решение
Найдем уравнение мгновенной скорости: v(t)=˙x(t)=4−0,1t
4−0,1t=0;; tост.=40 c;; v0=v(0)=4;; ⟨v⟩=△v△t=0−440−0=0.1 м/cОтвет: Точка остановится через 40 секунд после начала движения. Средняя скорость её движения 0,1 м/с.