Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Мгновенная и средняя скорость

При движении материальной точки изменяются ее координаты. Координаты могут изменяться быстро или медленно. Физическая величина, которая характеризует быстроту изменения координаты, называется скоростью.

Пример

Средняя скорость -- это векторная величина, численно равная перемещению в единицу времени, и сонаправленная с вектором перемещения:v=rt ; v↑↑r

Средняя скорость сонаправлена перемещению

Рисунок 1. Средняя скорость сонаправлена перемещению

Mодуль средней скорости по пути равен: v=St

Мгновенная скорость дает точную информацию о движении в определенный момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» с точки зрения физики не является корректным. Однако понятие мгновенной скорости очень удобно в математических расчетах, и им постоянно пользуются.

Мгновенная скорость (или просто скорость) есть предел, к которому стремится средняя скорость v при стремлении промежутка времени t к нулю:

v=limtrt =drdt=˙r (1)

Вектор v направлен по касательной к криволинейной траектории, так как бесконечно малое (элементарное) перемещение dr совпадает с бесконечно малым элементом траектории ds.

Вектор мгновенной скорости $v$

Рисунок 2. Вектор мгновенной скорости v

В декартовых координатах уравнение (1) эквивалентно трем уравнениям

{vx=dxdt=˙xvy=dydt=˙yvz=dzdt=˙z (2)

Модуль вектора v в этом случае равен:

v=|v|=v2x+v2y+v2z=x2+y2+z2 (3)

Переход от декартовых прямоугольных координат к криволинейным осуществляется по правилам дифференцирования сложных функций. Пусть радиус-вектор r есть функция криволинейных координат: r=r(q1,q2,q3) . Тогда скорость v=drdt=3i=1rqiqit=3i=1rqi˙qi

Перемещение и мгновенная скорость в системах криволинейных координат

Рисунок 3. Перемещение и мгновенная скорость в системах криволинейных координат

В сферических координатах, полагая q1=r;  q2=φ;  q3=θ, получаем представление v в следующий форме:

v=vrer+vφeφ+vθeθ, где vr=˙r;  vφ=r˙φsinθ;;  vθ=r˙θ ;; ˙r=drdt;;  ˙φ=dφdt;;  ˙θ=dθdt;v=r1+φ2sin2θ+θ2

Мгновенная скорость - это значение производной от функции перемещения по времени в заданный момент времени, и связана с элементарным перемещением следующим соотношением: dr=v(t)dt

Задача 1

Закон движения точки по прямой: x(t)=0,15t22t+8. Найти мгновенную скорость точки через 10 секунд после начала движения.

Решение

Мгновенная скорость точки -- это первая производная радиус-вектора по времени. Поэтому для мгновенной скорости можно записать:

v(t)=˙x(t)=0.3t2;;v(10)=0.3×102=1 м/с

Ответ: Через 10 с после начала движения мгновенная скорость точки 1 м/с.

Задача 2

Движение материальной точки задано уравнением~ x=4t0,05t2. Определить момент времени tост., в который точка остановится, и среднюю путевую скорость v.

Решение

Найдем уравнение мгновенной скорости: v(t)=˙x(t)=40,1t

40,1t=0;;      tост.=40 c;;   v0=v(0)=4;;    v=vt=04400=0.1 м/c  

Ответ: Точка остановится через 40 секунд после начала движения. Средняя скорость её движения 0,1 м/с.

Дата последнего обновления статьи: 16.11.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Мгновенная и средняя скорость"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant