Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила -- сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения; проекции ускорения на координатные оси ах = 0, ау = - g.
Рисунок 1. Кинематические характеристики тела, брошенного под углом к горизонту
Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).
Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:
где v0 - начальная скорость, α - угол бросания.
Координаты тела, следовательно, изменяются так:
При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) x0=y0=0. Тогда получим:
(1)
Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:
(2)
Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.
Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета - это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный t0. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:
(3)
Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.
Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем
(4)
Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:
и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:
Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания α и его функции -- здесь просто константы, т.е. постоянные числа.
Тело брошено со скоростью v0 под углом α к горизонту. Время полета t=2с. На какую высоту Hmax поднимется тело?
Решение
Дано:
tВ=2сЗакон движения тела имеет вид:
{x=v0xty=v0yt−gt22Вектор начальной скорости образует с осью ОХ угол α. Следовательно,
С вершины горы бросают под углом = 30∘ к горизонту камень с начальной скоростью v0=6м/с. Угол наклонной плоскости = 30∘. На каком расстоянии от точки бросания упадет камень?
Решение
Дано:
α=30∘Поместим начало координат в точку бросания, ОХ -- вдоль наклонной плоскости вниз, OY -- перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Кинематические характеристики движения:
Закон движения:
{x=v0tcos2α+gt22sinα y=v0tsin2α −gt22cosαПодставив полученное значение tВ, найдём S: