Закон гармонических колебаний

Колебаниями в физике считают не только периодические или почти периодические движения тел, при которых тело множество раз повторяет движение около положения равновесия.

Электромагнитные колебания

Пусть прямоугольная рамка вращается в однородном магнитном поле с постоянной угловой скоростью $\omega$. Магнитный поток через поверхность этой рамки будет равен:

$Ф=BS\cos \alpha (1),$

где $S$ - площадь рамки; $\alpha$ - угол между нормалью к плоскости рамки и направлением вектора магнитной индукции $\vec B$.

Если рамка вращается равномерно, то угол $\alpha$ можно определить как:

$\alpha=\omega t (2),$

тогда поток магнитного поля равен:

$Ф=Ф_0\cos (\omega t) (3),$

где введено обозначение: $Ф_0=BS$.

При таком вращении рамки в ней возбуждается электродвижущая сила индукции $\varepsilon_i$, которая в соответствии с законом Фарадея равна:

$\varepsilon_i =-\frac{dФ}{dt}(4).$

Принимая во внимание выражение (2), ЭДС индукции получаем равную:

$\varepsilon_i =\varepsilon_0\sin (\omega t) (5),$

где $\varepsilon_0$ - постоянная величина, называемая амплитудой ЭДС.

Электрический ток, который возникает в рамке, изменяется в соответствии с законом:

$I=I_0\sin (\omega t) (6),$

где $ I_0=const$ - амплитуда индукционного тока.

Уравнения (3), (5) и (6) – законы, описывающие колебания электромагнитных величин.

Общность законов для колебаний разной природы

Специальные закономерности колебательных явлений, которые определяют не мгновенные значения параметров, описывающих состояние колебательной системы, а характеризуют колебания как процесс в целом, не зависят от физической природы величин, выполняющих колебания. Данные законы исследует теория колебаний. Она исповедует единый подход к процессам колебаний, имеющих разную физическую природу.

В течении времени, равному периоду колебательная система выполняет одно полное колебание.

Если колебание является периодическим, то связь параметра, совершающего колебания и времени будет удовлетворять условию:

$s(t)=s(t+T) (7).$

Периодические колебания называют гармоническими, если их описывают при помощи функции:

$s(t)=s_m\sin (\omega t+ \varphi) (8),$

где

• величина, равная $\omega = \frac{2\pi}{T}$ называется циклической (круговой) частотой гармонических колебаний;
• $s_m=const>0$ - наибольшее значение параметра $s$, называемое амплитудой колебаний;
• $Ф=\omega t+ \varphi $ - фаза колебаний (изменяется во времени);
• $\varphi=const=Ф(t=0)$ - начальная фаза колебаний.

Выражению (8) можно поставить в соответствие следующее эквивалентное равенство:

$s(t)=s_m\cos (\omega t+ \varphi_1) (9),$

где $\varphi_1=\varphi-\frac{\pi}{2}.$

Дифференциальный закон колебаний

Выражение (8) показывает, что первая и вторая производные во времени от параметра $s(t)$ тоже выполняют гармонические колебания, причем они имеют частоту $\omega$:

$\dot{s}=s_m\omega \cos(\omega t+\varphi)= s_m\omega \sin (\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2})(10).$

$\ddot{s}=-s_m\omega^2\sin (\omega t+\varphi )= -s_m\omega^2\sin (\omega t+\varphi +\pi)(11).$

В выражении (10) для $\dot{s}$:

• амплитуда колебаний составляет $s_m\omega$;
• начальная фаза колебаний равна $\varphi+\frac{\pi}{2}.$ Это означает, что разность фаз колебаний параметра $s$ и $\dot{s}$ не изменяется и она равна $\frac{\pi}{2}$. Скорость изменения величины $\dot{s}$ опережает колебания $s$ на величину, равную $\frac{\pi}{2}$.

Из уравнения (11) мы сделаем вывод о том, что:

• амплитуда колебаний $\ddot{s}$ равна $A\omega^2$;
• начальная фаза колебаний $\ddot{s}$ равна $\varphi+\pi$. Разность фаз колебаний параметра $s$ и $\ddot{s}$ не изменяется в течении времени и составляет $\pi$.

Запишем уравнение (11) в виде:

$\ddot{s}+\omega^2 s=0 (12),$

где мы перенесли в левую часть значение второй производно от $s$ и учли равенство (8).

Мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет гармоническая функция $s$ (8).

Общим решением уравнения (12) является линейная комбинация тригонометрических функций:

$s=A_1\sin(\omega t)+A_2\cos (\omega t)(13),$

где значения постоянных величин $A_1$ и $A_2$ находят из начальных условий для $s$ и $\dot{s}$:

• $A_1=\frac{1}{\omega}(\frac{ds}{dt})$ при $t=0$;
• $A_2=s(t=0)$.

Общее решение (13) дифференциального закона колебаний (12) обычно представляют как:

$s=A\sin (\omega t+\varphi)(14),$

где амплитуда колебания $A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}$; $\varphi= arctg (\frac{A_2}{A_1}).$

Вывод: физическая величина $s$ выполняет гармонические колебания только, если она удовлетворяет уравнению (12), которое именуют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Экспоненциальная форма записи гармонических колебаний

Применяя известную формулу Эйлера для комплексных чисел:

$e^{i\alpha}=\cos \alpha +i\sin \alpha,$

где $i=\sqrt{-1}$,

гармонические колебания

$s=A\sin (\omega t+\varphi)=A\cos (\omega t+\varphi-\frac{\pi}{2})$

можно представить в виде экспоненты:

$\tilde{s}=Ae^{i(\omega t+\varphi_1)}(15).$

В выражении (15) физическим смыслом обладает только действительная часть комплексного выражения для $\tilde{s}$, обозначим ее как Re $\tilde{s}$:

Re $\tilde{s}=s=A\sin (\omega t+\varphi)(16).$

Графическое изображение колебаний

Гармонические колебания можно изображать не только при помощи синусоиды или косинусоиды. Их изображают с помощью вектора, совершающего вращательные движения на плоскости.

С этой целью из начала координат на плоскости проводится вектор $\vec A$, длина которого равна амплитуде колебаний. Угол между этим вектором и осью $X$ равен фазе колебаний в рассматриваемый момент времени $t$. Данный угол увеличивается с ходом времени, при этом вектор $\vec A$ совершает равномерное вращение около начала координат с угловой скоростью $\omega$. Проекция $\vec A$ на ось $Y$ выполняет гармонические колебания в соответствии с законом:

$A_y=s=A\sin (\omega t+\varphi).$

Данный вариант изображения гармонических колебаний назван методом векторных диаграмм. Его применяют при сложении колебаний одного направления.