Гармонические колебания

Колебания имеют значимую роль во многих физических процессах. Основным свойством колебательного процесса является повторяемость состояний системы, которая участвует в данном процессе.

В зависимости от источника возмущения колебаний и механизма их реализации колебания делят на:

1. механические;
2. электромагнитные;
3. смешанные (электромеханические);
4. квантовые.

Важнейшими среди колебательных движений являются простые или гармонические колебания.

Механические колебания

Характер механических гармонических колебаний раскроем, используя следующую кинематическую модель. Пусть материальная точка $L$ равномерно движется по окружности, имея постоянную угловую скорость $\omega$ (рис.1).

Рисунок 1. Кинематическая модель. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Радиус траектории движения нашей точки равен $R=A$ (рис.1). Ее проекция (точка $N$) на ось $X$ совершает колебательные движения, при движении точки, от $N_1$ до $N_2$ и обратно.

Данное колебание будет гармоническим. Для математического описания этого движения определим закон изменения координаты $x$ точки $N$ в зависимости от времени.

Допустим, что в момент времени, который мы будем считать начальным $t=0$, радиус $OL$ составлял с осью $X$ угол $\varphi_0$. Через некоторое время $t$ данный угол получает приращение $\omega t+\varphi_0$. Рассматривая прямоугольный треугольник $ONL$ на рис.1 запишем:

$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi_0)(1).$

Формула (1) описывает аналитически гармоническое колебание точки $N$ по диаметру $N_1N_2$.

Основными параметрами, которые описывают колебательные движения являются:

1. Параметр $A$ задает наибольшее отклонение точки в колебательном движении от положения равновесия, которое находится в точке $O$. Физическая величина $A$ называется амплитудой колебаний.
2. Величина $\omega$ - круговая (циклическая) частота колебаний.
3. Параметр $\omega t+\varphi_0$ называется фазой колебаний.
4. Значение фазы колебаний в начальный момент времени ($\varphi_0$) имеет название начальной фазы колебаний. При $\varphi_0=0$ закон колебаний для нашей материальной точки имеет вид:

$x=A\cos (\omega t).$

При $\varphi_0=-\frac{\pi}{2}$, получаем:

$x=A\sin (\omega t).$

Мы видим, что гармонические колебания описываются законами синуса или косинуса.

Для изображения гармонического колебания на графике обычно по горизонтальной оси откладывают время $t$, по вертикальной оси – смещение точки $x$. В этом случае получают периодические кривые (синусоиду или косинусоиду). При этом форма кривой определена амплитудой колебаний и круговой частотой. Положение кривой связано с начальной фазой.

По прошествии времени, равного:

$T=\frac{2\pi}{\omega}(2)$

фаза колебаний имеет приращение $2\pi$, при этом материальная точка приходит в свое начальное положение, сохраняя направление своего движения. Данное время называют периодом колебания.

За время, равное периоду колебаний колебательная система совершает одно полное колебательное движение.

Скорость колебаний материальной точки находят, дифференцируя выражение (1) по времени:

$v=\dot{x}=-\omega A \sin (\omega t+\varphi_0)(3).$

Ускорение получают, проведя дифференцирование второй раз:

$a=\ddot {x}=-\omega^2A\cos (\omega t+\varphi_0)(4).$

Получаем, что ускорение прямо пропорционально смещению материальной точки:

$a=-\omega^2x(5).$

Соответственно, сила, которая действует на материальную точку при гармонических колебаниях:

$F=ma=-m\omega^2x (6).$

Из формулы (6) следует, что сила направлена всегда к положению равновесия, то есть противоположна отклонению. Данные силы обычно появляются при малых смещениях тел от положения равновесия.

Гармонические функции вида (1) являются решениями линейного дифференциального уравнения, которое называют уравнением движения и записывают как:

$\ddot {x}+\omega^2 x=0 (7).$

Уравнение (7) – дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Колебательные процессы отличаются качественным многообразием. Однако, их исследования значительно облегчены тем, что между всеми колебаниями разной физической природы имеется глубокая формально – математическая аналогия. Колебания разной природы подчинены одинаковым по виду дифференциальным уравнениям. Законы, в соответствии с которыми происходит изменения переменных, описывающих состояние колебательной системы одинаковы для разных систем. Так, перемещение груза на пружине и колебание величины заряда конденсатора в колебательном контуре идут в соответствии с одним законом.

Колебания в электрическом контуре

Допустим, что колебания совершаются в идеальном колебательном контуре, который имеем:

1. конденсатор с электрической емкостью $C$;
2. катушку индуктивности (ее индуктивность равна $L$).

Для создания колебаний конденсатор заряжают, и контур предоставляют самому себе. Зразу после зарядки конденсатор станет разряжаться через катушку индуктивности. Ток будет переменным во времени, это приводит к появлению ЭДС самоиндукции в катушке, это приводит к перезарядке конденсатора. Конденсатор заряжается и процесс повторяется. Так (если не учитывать потери) в контуре происходят незатухающие колебания заряда $q$, силы тока $I$ и напряжение $U_c$. Пусть $U_c$ - напряжение на конденсаторе.

Уравнение, которое описывает колебания заряда в таком контуре, имеет вид:

$\frac{d^2 q}{dt^2}+\omega_0^2 q=0 (8),$

где круговая частота колебаний в контуре равна: $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.$

Дифференциальное уравнение, которое описывает незатухающие электромагнитные колебания (8) в рассматриваемом нами идеальном контуре, имеет вид аналогичный механическим колебаниям.

Одинаковыми по форме для электрической и механической колебательных систем будут уравнения свободных затухающих колебаний:

$\frac{d^2 q}{dt^2}+\omega_0^2 q+2\beta \frac{dq}{dt}=0 (9),$

где $\beta=\frac {R}{2L}$ - коэффициент затухания. Для электрического колебательного контура $R$ - сопротивление контура. Выражение (6) описывает колебания заряда.

Изменение координаты при механических колебаниях с наличием трения можно описать уравнением:

$\frac{d^2 x}{dt^2}+\omega_0^2 x+2\beta \frac{dx}{dt}=0 (10),$

где $\beta=\frac {\gamma}{2m}$ - коэффициент затухания; $\gamma$ - коэффициент сопротивления.