Сложение гармонических колебаний

Сложением колебаний называют применение закона, описывающего состояние колебательной системы, если она принимает участие одномоментно в нескольких колебательных процессах.

При этом выделяют два предельных случая:

1. суммирование колебаний, имеющих одинаковые направления;
2. сложение взаимно нормальных колебаний.

К первому варианту сложения колебаний можно отнести случай, когда груз ($a$) совершает колебания на пружине 1 относительно другого колеблющегося груза ($b$) и совместно с ним на пружине 2 (рис.1).

Рисунок 1. Суммирование колебаний, имеющих одинаковые направления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Такой случай реализуется при наложении колебаний скалярных физических параметров, характеризующих систему колебаний, например:

• давления;
• температуры;
• плотности;
• силы тока;
• заряда и т.д.

Суммирование однонаправленных гармонических колебаний

Сложение пары гармонических колебаний вида:

$s_1=A_1 \sin (\omega_1 t+\varphi_1) (1)$ и $s_2=A_2 \sin (\omega_2 t+\varphi_2) (2)$

можно выполнить, если воспользоваться методом векторных диаграмм.

Рисунок 2. Метод векторных диаграмм. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2 показывает векторы $\vec A_1(t)$ и $\vec A_2(t)$ амплитуд соответствующих колебаний в момент времени $t$. Фазы этих колебаний в обозначенный момент времени равны:

$Ф_1=\omega_1 t+\varphi_1 (3)$ и $Ф_2=\omega_2 t+\varphi_2 (4)$.

Суммарному колебанию $s=s_1+s_2$ соответствует вектор:

$A(t)=A_1(t)+A_2(t)$.

проекция вектора $s$ на ось $Y$ равна:

$s=A(t)\sin(Ф(t))(5).$

Используя теорему косинусов, получим:

$A^2(t)=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos (Ф_2(t)-Ф_1(t))(6),$

$tg ( Ф(t))=\frac{A_1\sin(Ф_1(t))+A_2\sin(Ф_2(t))}{ A_1\cos(Ф_1(t))+A_2\cos(Ф_2(t))}(7).$

Когерентные и некогерентные гармонические колебания

Из выражения (8) следует, что гармонические колебания будут когерентными, если

• их круговые частоты будут одинаковыми:

  $\omega_2=\omega_1=\omega.$

• в каждый момент времени разность фаз когерентных колебаний равна разности фаз их начальных колебаний:

  $Ф_2(t)-Ф_1(t)=(\varphi_2-\varphi_2).$

Сложение двух гармонических однонаправленных когерентных колебаний дают колебание с той же круговой частотой $\omega$, что исходные колебания, при этом имеем:

$s=s_1+s_2=A\sin(\omega t+\varphi_0)(9),$

где $A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos (\varphi_2-\varphi_1)$;

$tg \varphi_0=\frac{A_1\sin (\varphi_1)+ A_2\sin (\varphi_2)}{ A_1\cos (\varphi_1)+ A_2\cos (\varphi_2)}$.

Амплитуда суммарных колебаний изменяется в зависимости от разности начальных фаз:

от $A=|A_1-A_2|$ при $\varphi_2-\varphi_1=\pm (2n+1)\pi$

до $A=A_1+A_2$ при $\varphi_2-\varphi_1=\pm 2n\pi$,

где $n=0,1,2...$ - целое положительное число или ноль.

При $\varphi_2-\varphi_1=\pm 2n\pi$ колебания происходят в одной фазе (колебания называют софазными).

Если $\varphi_2-\varphi_1=\pm (2n+1)\pi$ колебания происходя в противофазе.

Если складываются гармонические колебания с разными циклическими частотами (некогерентные колебания), получаются негармонические колебания. Векторы амплитуд $A_1$ и $A_2$ вращаются с разными угловыми скоростями, построенный на них параллелограмм постоянно искажается, его диагональ изменяет длину и совершает вращения с изменяющейся угловой скоростью.

Пару гармонических колебаний, имеющих разные круговые частоты можно приближенно считать когерентными только на малом отрезке времени, в течение которого разность фаз колебаний изменяется на малую величину.

Биения – это негармоническое колебание.

Суммирование взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

Точка $N$ совершает одновременно два колебания. Они имеют одинаковые круговые частоты. Одно из них происходит вдоль оси $X$, другое вдоль оси $Y$. Их законы запишем как:

$x=A_1\sin (\omega t+\varphi_1) (10)$ и

$y=A_2\sin (\omega t+\varphi_2) (11),$

где $x$ и $y$ - декартовы координаты точки N.

Уравнение траектории движения точки N при этом:

$\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}-\frac{2xy}{A_1A_2}\cos (\varphi_2-\varphi_1)=\sin^2 (\varphi_2-\varphi_1) (12)$.

Траектория движения точки имеет форму эллипса. Точка $M$ описывает данный эллипс за период суммируемых колебаний. Такие движения точки называют эллиптически поляризованными колебаниями.

Ориентация этого эллипса в плоскости $XOY$ и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний $A_1$ и $A_2$ и разности начальных фаз $\varphi_2-\varphi_1$.

При $\varphi_2-\varphi_1=(2n+1)\frac{\pi}{2}$, где $n=0,\pm 1, \pm 2...$ оси эллипса будут совпадать с осями $OX$ и $OY$, при этом величины его полуосей равны $A_1$ и $A_2$:

$\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}(13).$

Если помимо прочего, $A_1=A_2$, то траекторией точки $N$ является окружность. При этом движение точки $N$ называют поляризованными циркулярно колебаниями (колебаниями которые поляризованы по кругу).

При $\varphi_2-\varphi_1=n\pi$ где $n=0,\pm 1, \pm 2...$, эллипс вырожден в отрезок прямой, при этом:

$y=\pm (\frac{A_2}{A_1})x (14),$

где знак плюс в выражении (14) при четных значениях $n$, то есть если складываются синфазные колебания; минус ставят при нечетных значения $n$, то есть если складываются колебания в противофазе. Такие колебания точки $N$ называют линейно поляризованными.

При линейно поляризованных колебаниях точка $N$ совершает гармонические колебания с частотой суммируемых колебаний и амплитудой, равной:

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}$

вдоль прямой линии, которая составляет с осью $OX$ угол:

$\beta = arctg(\frac{A_2}{A_1}\cos (pi))(15).$

Пусть взаимно нормальные колебания, имеющие циклические частоты $p\omega$ и $q\omega$, где $p$ и $q$ - целые числа:

$x=A_1\sin (p\omega t+\varphi_1)$ и $y=A_2\sin (q\omega t+\varphi_2) (16).$

Координаты $x$ и $y$ точки $N$, которая совершает колебания, одновременно повторяется спустя одинаковые отрезки времени $T_0$, равные общему минимальному кратному:

$T_1=\frac{2\pi}{p\omega}$ и $T_2=\frac{2\pi}{q\omega}$ периодов вдоль осей $OX$ и $OY$. Следовательно, траекторией точки $N$ является замкнутая кривая. Форма этой кривой связана с соотношением между:

• амплитудами,
• частотами,
• начальными фазами

суммируемых колебаний. Эти траектории точки $N$, выполняющей гармонические колебания в двух взаимно нормальных плоскостях одновременно, называют фигурами Лиссажу.

Фигуры Лиссажу можно вписать в прямоугольник:

• с центром, совпадающим с началом координат;
• сторонами параллельными осям координат ($OX$ и $OY$) и находящимися по обе стороны от них на расстояниях равных $A_1$ $A_2$;
• отношение частот суммируемых колебаний определяет количество касаний соответствующей им фигуры Лиссажу со стороной прямоугольника, параллельной оси $OY$ и со стороной, параллельной оси $OX$.