График и уравнение гармонических колебаний

Колебаниями в физике называют любой периодический или почти периодический процесс, в котором физические параметры системы, совершающей колебания повторяют свои значения точно или практически точно спустя равны (или почти равные) отрезки времени.

Специфика законов, при помощи которых описывают колебательные процессы в целом, не зависят от физической природы параметров, которые выполняют колебания. Эти законы исследует теория колебаний. Ей свойственен единый подход к колебаниям разной природы.

Уравнение механических колебаний

Пусть груз совершает вертикальные колебания на упругой пружине, колебания происходят вдоль оси $X$. Будем считать, что закон Гука выполняется. При движении груза появляется сила торможения, пропорциональная скорости движения груза ($F_t=-\alpha \dot{x}$). В таком случае уравнением движения груза станет:

$m\ddot{x}=-kx-\alpha \dot{x}+F$ или $ m\ddot{x}+kx+\alpha \dot{x}=F(1), $

где $x$- отклонение груза от положения равновесия; $-kx$ - величина силы упругости (восстанавливающая сила); $F$ - сумма всех остальных сил, которые оказывают воздействие на груз.

Допустим, что $F=0$, коэффициент сопротивления $\alpha$ можно считать очень маленьким, тогда при сообщении грузу толчка в вертикальном направлении в системе пружина – груз возникнут колебания, которые можно считать мало затухающими на некотором отрезке времени. При $\alpha = 0$ затухание отсутствует совсем.

Уравнения (1) являются дифференциальными уравнениями второго порядка. При отсутствии внешних сил ( при $F=0$) эти уравнения переходят в линейное и однородное относительно неизвестного параметра $x$ и его производных по времени:

$ m\ddot{x}+kx+\alpha \dot{x}=0(2). $

Уравнение (2) описывает свободные колебания.

Введем обозначение:

1. $\omega_0^2=\frac{k}{m}$ - собственная (циклическая, круговая) частота колебательной системы;
2. $2\gamma=\frac{\alpha}{m}$ - коэффициент затухания.

Уравнение (1) запишем в виде:

$\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+\omega_0^2x=\frac{F}{m}(3)$.

Для свободных колебаний получим:

$\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+\omega_0^2x =0 (4)$.

При этом свободные незатухающие колебания, с учетом того, что $\gamma=0$ будут описываться уравнением:

$\ddot{x}+\omega_0^2x =0 (5)$.

Любая система, свободные колебания которой описываются при помощи уравнения формы (5) называется гармоническим осциллятором. Если имеются силы сопротивления ($2\gamma \dot{x}$), тогда система именуется гармоническим осциллятором с затуханием.

Уравнение электрических колебаний

Электрические колебания будем рассматривать в колебательном контуре (рис.1), который состоит из последовательно соединенных:

• катушки самоиндукции ($L$);
• проводника с сопротивлением $R$;
• конденсатора, емкостью $C$.

Рисунок 1. Колебательный контур. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Уравнение колебаний в контуре имеет вид:

$L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{q}{C}=\varepsilon (6),$

где $ \varepsilon$ - ЭДС (электродвижущая сила).

При отсутствии сопротивления $R=0$ колебания в контуре будут незатухающими. Если источника ЭДС нет, то колебаний свободные. Свободные незатухающие колебания в электрическом контуре описывает уравнение:

$L\ddot{q}+\frac{q}{C}=0 (7).$

1. Поясним, почему в нашем контуре можно создать и наблюдать электрические колебания. Допустим, что в начальный момент времени верхняя пластина конденсатора несет положительный заряд, а нижняя отрицательный, при этом тока в контуре нет. При $t=0$ вся энергия сосредоточена в конденсаторе.
2. Если внешние ЭДС отсутствуют, то конденсатор будет разряжаться через катушку самоиндукции В контуре будет течь ток. Электрическая энергия конденсатора переходит в магнитную энергию катушки.
3. Заряд конденсатора становится равным нулю. Ток в контуре становится наибольшим. С этого момента ток, не изменяя направления, станет уменьшаться.
4. Сила тока становится равной нулю не одномоментно, так как возникает ЭДС индукции. Ток заряжает нижнюю платину конденсатора положительно, верхняя пластина получает отрицательный заряд. Появляется электрическое поле, которое стремится ослабить ток.
5. Ток становится равным нулю. Конденсатор заряжен максимально, но заряд на пластинах поменялся местами. Процесс разрядки конденсатора начинается вновь.

Применим обозначения:

• $\omega_0^2=\frac{1}{LC}$;
• $2\gamma=\frac{R}{L}$;
• $X=\frac{\varepsilon}{C}$

тогда уравнение электрических колебаний принимает вид:

$\ddot{q}+2\gamma\dot{q}+\omega_0^2q=X (8).$

Свободные незатухающие электрические колебания будет описывать уравнение:

$\ddot{q}+\omega_0^2q=0 (9).$

Решение дифференциального уравнения гармонического осциллятора

Для решение уравнения (9) умножим обе его части на $\dot{q}$, после некоторых простых преобразований получаем:

$\frac{d}{dt}(\dot{q}^2+\omega_0^2 q^2)=0 (10).$

Уравнение (10) показывает, что величина $\dot{q}^2+\omega_0^2 q^2$ постоянна во времени. Данная величина является суммой двух квадратов, значит она больше нуля, представим ее как:

$\dot{q}^2+\omega_0^2 q^2=\omega_0^2 q_0^2 (11),$

где $q_0$ не изменяется. Равенство (11) отражает закон сохранения энергии, поскольку его можно представить как:

$\frac{1}{2}LI^2+\frac{q^2}{2C}=const (12).$

В уравнении (11) проводят разделение переменных и выполняют интегрирование, получают:

$arccos (\frac{q}{q_0}=\pm \omega_0 t+const )(13).$

или

$q=q_0 cos (\omega_0 t+\varphi)(14),$

где $q_0$ и $\varphi $ - постоянные, определяемые начальными условиями колебаний.

Формула (14) описывает и свободные колебания груза на пружине, физического и математического маятников при малых отклонениях от положения равновесия, ножки звучащего камертона, колебания напряжения в электрической сети города.

Если параметр изменяется по закону (14) синуса или косинуса, то говорят, что эта величина совершает гармонические колебания.

График гармонических колебаний

Если по оси абсцисс откладывать время, по оси ординат – величину $q$, то получим график синусоиды (или косинусоиды). Это периодическая кривая, значения ее ординат повторяется через $t=T$. Амплитуда $q_0$ - максимальное значение параметра $q$.

Рисунок 2. График гармонических колебаний. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ