Формула силы притяжения

История проблемы гравитации

Уже древнегреческие философы задумывались над причинами притяжения тел к земной поверхности и закономерностями свободного падения. Аристотель, например, утверждал, что если бросить вниз с одинаковой высоты два камня, то более тяжелый достигнет поверхности первым. В IV в. до н.э., когда жил этот мыслитель, единственным приемлемым методом познания считалось наблюдение и размышление, поэтому проверить опытом свое утверждение Аристотель не потрудился. Лишь спустя века итальянский физик Галилео Галилей (1564 – 1642 гг.) решил подвергнуть утверждение античного философа испытанию практикой. Результаты своих опытов он опубликовал в трактате "Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых наук", где писал от имени персонажа Сагредо: "пушечное ядро не опередит мушкетной пули при падении с высоты двухсот локтей".

Теоретически закрепить наблюдения Галилея о том, что тела разной массы падают на землю с равными ускорениями, смог Исаак Ньютон, сформулировавший около 1666 г. закон всемирного тяготения. Согласно ему сила, с которой взаимно притягиваются друг к другу два тела, прямопропорциональна их массами и обратнопропорциональна расстоянию между ними. Гравитацию Ньютон считал всеобщим свойством тел, обладающих массой, притягиваться друг к другу.

Достоверность открытия Ньютона была многократно подтверждена практикой. Однако к началу XX в. в физике появились задачи, связанные с крупными астрономическими объектами, такими, как планетарные системы, галактики. Ньютоновский закон давал недостаточно точные результаты при наблюдениях за ними. Новую теорию, позволяющую устранить эти погрешности, разработал в начале XX в. Альберт Эйнштейн (1879 - 1955 гг.). В своей Общей теории относительности он предложил считать гравитацию не силой, а зависящим от массы искривлением четырехмерного пространства-времени. При этом нельзя сказать, что открытие Эйнштейна отменило теорию гравитации Ньютона. Закон всемирного тяготения является частным случаем Общей теории относительности, действующим на сравнительно небольших расстояниях. Он по-прежнему широко применяется при решении практических задач.

Закон всемирного тяготения

Гравитационную закономерность, найденную Ньютоном, математически можно сформулировать как

$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$,

где $m_1, m_2$ - массы притягивающихся с силой $F$ тел, $r$ - расстояние между ними, $G$ - т.н. гравитационная постоянная, констнта, равная 6,67.

Важно отметить, что

1. сила гравитационного взаимодействия ослабевает по мере удаления тел друг от друга пропорционально не просто расстаянию, а расстоянию в квадрате;
2. под расстоянием понимается не расстояние между поверхностями, а расстояние между центрами тяжести тел.

Квадратичная зависимость силы притяжения от расстояния позволяет понять, почему Солнце, масса которого в миллион раз больше земной, практически не притягивает нас, когда мы находимся на поверхности нашей планеты. Расстояние от Земли до центра Солнечной системы составляет около 150 млн. км. На такой большой дистанции солнечная гравитация практически не ощущается, хотя с помощью высокоточных приборов ее можно зарегистрировать.

В условиях планеты Земля силу, с которой она притягивает к себе близлежащие предметы (иными словами, их вес) можно подсчитать как

$P = mg$,

где $m$ – масса притягиваемого объекта, $g$ – ускорение свободного падения близ Земли (для других планет значение будет отличаться). Ускорение свободного падения несколько колеблется в зависимости от географической широты, но в среднем его можно принимать как константу, равную $9,81 \frac{м}{с^2}$.

Первая и вторая космические скорости

Гравитационную силу можно преодолеть с помощью противодействия других сил (например, реактивной), что делает возможными авиационные и космические полеты.

Можно провести мысленный эксперимент, представив пушку, стреляющую горизонтально с вершины высокой горы. Такую систему удобно выбрать еще и потому, что воздух тоже подчиняется законам гравитации, и вблизи поверхности планеты он плотнее, чем, скажем, на высоте 8000 м. над уровнем моря. Таким образом, снаряду, вылетающему из "высокогорной" пушки, вязкость атмосферы будет оказывать меньшее сопротивление.

Если выстрел из такой пушки будет относительно слабым, вылетевшее из нее тело упадет где-нибудь неподалеку под действием гравитации Земли, совершив полет по искривленной гравитацией траектории. Чем больше будет начальная скорость снаряда, тем дальше он пролетит, огибая земной шар. Наконец, сила выстрела может достигнуть такого значения, что кривизна траектории снаряда совпадет с окружностью радиусом от центра Земли до пушки, и снаряд начнет вращаться вокруг планеты по круговой орбите. Скорость, на которой это произойдет, называется первой космической. Ее можно вычислить как

$V_1 = \sqrt{G \cdot \frac{M}{R}}$,

где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса планеты, $R$ – ее радиус.

Продолжая наращивать интенсивность выстрела, мы можем превратить траекторию сначала в эллиптическую (снаряд будет вращаться вокруг Земли по вытянутой орбите), а затем и в гиперболическую (он начнет удаляться от планеты, не возвращаясь к ней). Последнее будет означать, что снаряд достиг второй космической скорости, которую можно посчитать как

$V_2 = \sqrt{2 \cdot G \frac{M}{R}} = \sqrt{2} \cdot V_1 = 1,41 \cdot 7,9 \approx 11,17 км/с $