Мост Эйнштейна — Розена

В 1935 году А. Эйнштейн и Н. Розен опубликовали статью «Проблемы частиц в Общей теории относительности». В этой стать ученые пытались представить математическую модель частицы, как моста. Сутью предлагаемой гипотезы стало то, что частица была представлена в виде «дырки», а не, привычной для нас, точки.

В модели, которую предлагали Эйнштейн и Розен, ученые пытались:

• предложить принципиально новый взгляд на природу элементарных частиц, которые составляют материю;
• красиво с точки зрения математики соединить теории гравитации и электромагнетизма (предлагаемое решение подходит для уравнений общей теории относительности (гравитационные уравнения) и для уравнений Максвелла (электромагнитные уравнения));

Геометрическая суть моста Эйнштейна- Розена состоит в том, что существует короткая трубка – перемычка, которая соединяет два параллельных пространственных «листа».

Модифицированное решение Шварцшильда

При рассмотрении решения Шварцшильда вне горизонта (при $\rho2M$) можно провести следующую замену одной «радиальной» координаты ($\rho$) на другую - $u(\rho)$. При этом уравнение связи запишем в виде:

$\frac{1}{2} u^2=\rho-2M >0 (1).$

Трансформация радиальной координаты выполнена так, что при увеличении $\rho$ от $2M$ до бесконечности, то координата $u$ или растет от нуля до бесконечности, или уменьшается от 0 до минус бесконечности.

В этом случае метрика в новых координатах принимает вид:

$ds^2=\frac{u^2}{u^2+4M}dt^2-(u^2+4M)du^2-\frac{1}{4}(u^2+4M)^2(d\theta^2+sin^2\theta d \phi^2)(2).$

Так как метрика (2) получена при преобразовании координат из решения Шварцшильда, то она тоже будет удовлетворять уравнениям общей теории относительности, по крайней мере при $u$ > $0$ и $u$

Метрика (1) является определенной на всей вещественной оси.

Два варианта решения уравнения Шварцшильда при $u$ > $0$ и $u$

Составляющие метрики (2) – это гладкие функции, следовательно, уравнения Эйнштейна удовлетворяются при всех $u$.

При $u=0$ метрика (2) является вырожденной, следовательно, уравнения Эйнштейна потребуют доопределения.

Метрика Эйнштейна – Розена инвариантна относительно преобразований $u \to -u$.

Авторы метрики (2), Эйнштейн и Розен считали, что физической интерпретацией метрики (2) служит точечная частица массы $M$, которая находится в покое центра сферической системы координат $u=0$, при этом пространство-время около этой частицы описывают два листа $u$ $0$, обладающие метрикой (2). При этом следует учесть, что эти листы описывают одну Вселенную.

Современная интерпретация физического смысла моста Эйнштейна – Розена

Рассмотрим перемещение пробных частиц в плоскости экватора ($\theta=\frac{1}{2} \pi$) гиперповерхности $u=0$. Наши частицы движутся в пространстве с тремя измерениями с метрикой:

$ds^2=(1-\frac{2M}{\rho})dt^2-\frac{d \rho^2}{1-\frac{2M}{\rho}}-\rho^2d\phi^2 (3)$

в координатах Шварцшильда.

Для этих пробных частиц пространством служат сечения $t=const$. Получаем двумерное многообразие (поверхность), имеющую метрику:

$dl^2=\frac{d\rho^2}{1-\frac{2M}{\rho}}+\rho^2d\phi^2 (4),$

где $\rho$ и $\phi$ - полярные координаты плоскости Евклида.

Для того чтобы представить поверхность, которую определяет метрика (4) ее вкладывают в Евклидово пространство с тремя измерениями, в котором $\rho$, $\phi$ и $z$ - цилиндрические координаты. Если движение вращения задать при помощи функции $z (\rho)$, в таком случае индуцированная метрика на вложенной поверхности имеет вид:

$dl^2=(1+(\frac{dz}{d\rho})^2)d\rho^2+\rho^2d\phi^2 (5).$

Для реализации совпадения метрик (5) и (4) нужно, чтобы выполнялось равенство:

$(\frac{dz}{d\rho})^2=\frac{1}{\frac{\rho}{2M}-1}(6).$

Уравнение (6) может выполняться только для внешнего решения Шварцшильда ($\rho$ > $2M$). Общее решения можно записать как:

$z=\int{\frac{d\rho}{\sqrt{\frac{\rho}{2M}-1}}}=4M\sqrt{\frac{\rho}{2M}-1}+const (7)$.

Постоянную интегрирования можно приравнять к нулю, так как она отвечает за сдвиг координаты $z$.

Мы видим, что поверхность, имеющую метрику (4) можно представить в трехмерном Евклидовом пространстве заданной уравнением:

$\frac{\rho}{2M}=1+(\frac{z}{4M})^2 (8).$

Уравнение (8) говорит нам о том, что мы имеет параболоид вращения (параболоид Фламма).

В этом вложении верхняя ($z$ > $0$) и нижняя ($z$

Данные сечения являются сшитыми гладко вдоль горловины $z=0$. Горловина соответствует горизонту $\rho_s=2M$.

Параболоид Фламма изометричен глобально сечениям по экватору моста Эйнштейна – Розена.

При использовании координат $u$ и $\phi$ вложения будут заданы уравнениями:

$z^2=4Mu^2$ или $z=\pm \sqrt{4M}u (9).$

Уравнения (9) означают, что параболоид становится парой конусов, а горловина моста стянута в точку.

Физической интерпретацией моста Эйнштейна – Розена построения, проведенные выше, делают следующее:

• Получены две Вселенные, соответствующие $z$ > $0$ и $z$
• Обе Вселенные являются асимптотически плоскими, если расстояния велики ($\rho \to \infty$).
• В «центре» Вселенные имеют склейку ($\rho=2M$ $u=0$).

Описанную выше структуру именуют кротовой норой, так как через нее имеется гипотетическая возможность попасть в другую Вселенную. Отметим, что мост Эйнштена – Розена является непроходимой кротовой норой.

В настоящее время полагают, что существование кротовых нор не доказано, поскольку они не обнаружены.

Ряд ученых отмечают, что поиск «кротовых нор» является одной из самых интересных задач астрономии.

Предполагают, что кротовые норы могут располагаться в центрах Галактик.