Условие существования электрического тока в вакууме
Вообще говоря, в вакууме не может проходить электрический ток, если в нем нет носителей заряда. Если в вакууме присутствуют электроны, то их движение обусловит появление тока, который называют током в вакууме. Следовательно, необходимо, чтобы в вакууме появились электроны.
В металле имеется так называемый «электронный газ». При термодинамическом равновесии распределение электронов на энергоуровнях определено статистикой Ферми -- Дирака и задано выражением:
где $\beta =\frac{1}{kT}$, $n_i$ -- количество электронов, которые имеют энергию $E_i$, $g_i$ -- число квантовых состояний, которые соответствуют энергии $E_i$, $\mu $ -- энергия Ферми при температуре T (при $T\to 0K\ \mu \to {\mu }_{0\ }при\ T=0K$). Так как выражение для энергии Ферми записывают как:
Статья: Электрический ток в вакууме
В большинстве случаев $\mu \gg kT$, следовательно, для выражения (1) можно полагать $\mu ={\mu }_{0\ }.$
Допустим, что $E_0-\ $энергия электрона около поверхности вне металла. Используя формулу (1) можно вычислить вероятность того, что электрон имеет энергию $E_0$, если ее подставить в (1) вместо $E_i$. Найденная вероятность будет отлична от нуля, причем она увеличивается с ростом температуры. Значит, вблизи поверхности металла присутствует электронное облако, находящееся в динамическом равновесии с электронным газом внутри металла. Электроны из электронного облака внутри металла имеют кинетическую энергию, которой достаточно для того, чтобы преодолеть силы, которые удерживали их внутри и выйти за пределы вещества. Электроны, находящиеся вне металла над его поверхностью при соответствующих условиях могут быть захвачены силами, которые удерживают электроны внутри. Получается, что в условиях динамического равновесия через поверхность металла протекают противоположно направленные токи, их силы равны по модулю. Сумма сил этих токов равна нулю.
Термоэлектронная эмиссия
Явление образования электронного облака около поверхности металла вследствие теплового движения свободных электронов называют термоэлектронной эмиссией. При абсолютном нуле температур явления термоэлектронной эмиссии нет. Это значит, что при $T=0K$ электронного облака над поверхностью металла не существует.
Электроны, имеющие кинетическую энергию $E_k\ $около поверхности металла имеют полную энергию ($E_i$) равную:
Тогда формула (1) имеет вид:
где $A_v=E_0-\mu $ -- работа выхода электронов из металла. Из выражения (4) видно, что плотность электронного облака около поверхности металла зависит от работы выхода $A_v$ и уменьшается с ее увеличением.
Термоэлектронный ток
Если около поверхности металла есть электрическое поле, то электроны из электронного облака образуют электрический ток. Этот ток называют термоэлектронным.
И так, если в вакууме находятся две металлические пластинки, между ними существует разность потенциалов, то между этими пластинками появится термоэлектронный ток.
Сила тока должна расти при увеличении разности потенциалов. Для термоэлектронного тока существует сила тока насыщения. Это максимальная сила тока, при которой все электроны, которые попадают с поверхности катода в электронное облако, достигают анода. При этом ни какого обратного тока электронов через поверхность внутрь катода нет. Сила тока насыщения при увеличении разности потенциалов между анодом и катодом не изменяется.
Для металлов работа выхода составляет несколько электрон-вольт. При этом энергия $kT$ даже при больших температурах в тысячи кельвинов всего лишь доли электрон -- вольта. Значит, $\frac{A_v}{kT}=A_v\beta \gg 1,\ \to exp\left[\beta \left(E_k+A_v\right)\right]\gg 1,$ следовательно, в знаменателе формулы (4) единицей можно пренебречь и записать эту формулу в виде:
Сила тока насыщения зависит от работы выхода и температуры. Для чистых металлов существенный ток можно получить при температурах порядка $2000 К$, что означает, что в качестве катодов следует использовать металлы с высокой температурой плавления. При этом надо, чтобы работа выхода у них была минимальна. Так, вольфрам, имеющий работу выхода $4,5 эВ$, должен быть нагрет до температуры $2500 К$x.
Для того чтобы уменьшить рабочую температуру и снизить работу выхода применяют оксидные катоды.
Характеристика электронного облака
Облако электронов около поверхности металла описывается формулой (5). В выражении (5) число квантовых состояний в элементе фазового объема $dxdydzdp_xdp_ydp_z$ запишется как:
Тогда количество электронов в элементе фазового объема будет равно:
где $E_k=\frac{p^2}{2m_e}$. $p^2={p_x}^2+{p_y}^2+{p_z}^2$. Концентрацию электронного облака ($n_0$) около поверхности металла можно найти последовательным интегрированием выражения (7) по $dxdydz$ а за тем по $dp_xdp_ydp_z$, в результате получим:
Средняя кинетическая энергия электронов равна:
Плотность тока насыщения
Плотность тока насыщения ($j_n$) определяется формулой Ричардсона - Дешмана:
где $A=\frac{q_em_ek^2}{2{\pi }^2{\hbar }^3}=1,2\cdot 10^6А\cdot м^{-2}\cdot К^{-2}.$ Часто формулу (10) представляют в виде:
Задание: Изобразите график зависимости $ln\left(\frac{j_n}{T^2}\right)$ от $\frac{1}{T}$. Как используя данный график можно определить работу выхода электрона?
Решение:
Для того чтобы построить график зависимости $ln\left(\frac{j_n}{T^2}\right)(\frac{1}{T})$ используем формулу Ричардсона - Дешмана в виде:
\[ln\left(\frac{j_n}{T^2}\right)=lnA-\frac{A_v}{kT}\left(1.1\right).\]Исходя из формулы (1.1) искомый график - прямая линия (рис.1). Пересекая ось ординат, данная прямая отсекает на этой вертикальной оси отрезок равный $lnA$. Величина A должна быть универсальной постоянной для всех металлов, однако этот результат экспериментом не подтверждается. Так как на величину A оказывают влияния поверхностные эффекты, помимо этого, у кристалла плотность тока насыщения может отличаться для разных граней.
Рисунок 1.
Ответ: По углу наклона прямой, которая изображена на рис.1, можно определить работу выхода электрона из металла.
Задание: Объясните, как с помощью вакуумного диода показать, что носителями тока через вакуум являются электроны.
Решение:
Вакуумный диод -- вакуумная лампа, которая имеет два электрода. Катодом является проволока (нить) из тугоплавкого металла, которую накаляют с помощью электрического тока. Металлический анод обычно, имеет форму цилиндра, окружает катод. Диод включают в электрическую цепь, которая включает последовательно соединенные источник тока, диод и миллиамперметр. Если цепь замкнуть, то ток через амперметр не идет. Если катод нагреть до определённой температуры, то миллиамперметр покажет наличие тока в цепи. Если полярность батареи источника тока заменить, ток прекратится. Этот опыт показывает, что носителями тока через вакуум являются частицы с отрицательным зарядом, а именно электроны, так как никаких химических реакций около электродов не наблюдается при прохождении тока.
