Величина и дипольный момент объема
В том случае, если диэлектрик не поляризован, то объемная и поверхностная плотности связанных зарядов равны нулю. В результате процесса поляризации поверхностная плотность всегда отлична от нуля, а объемная лишь иногда. Между поляризованностью (вектором поляризации →P) и поверхностной плотностью связанных зарядов (σ) существует несложная связь. Для того, чтобы ее найти, рассмотрим плоскопараллельную пластину из однородного диэлектрика, которая находится в электростатическом поле (рис.1). Выделим в этой пластине элемент объема в виде тонкого цилиндра. Его ось будет параллельна вектору напряженности поля. Основания цилиндра имеют площадь △S, они совпадают с поверхностями цилиндра.
Рис. 1
Величина выделенного объема равна:
где l -- высота цилиндра, α -- угол между направлением вектора напряженности и вектором внешней нормали к поверхности с положительным зарядом. Дипольный момент выделенного объема равен:
Рассматриваемый объем эквивалентен диполю, заряды которого равны q=±σsv△S и плечо равно l. Электрический момент этого диполя равен pe=σsv△Sl. P=pe, значит:
Из формулы (3) мы видим искомое выражение, которое связывает поверхностную плотность связанных зарядов и модуль вектора поляризации:
где Pn - проекция вектора поляризации на внешнюю нормаль к соответствующей поверхности. В нашем случае (рис.1) Pn >0 для правой поверхности, где σsv>0, для левой: $P_{n\ }
Поверхностная плотность связанных зарядов
Формула (4) справедлива в самом общем случае, когда неоднородный диэлектрик любой формы находится в неоднородном электрическом поле. Под Pn в таком случае понимают нормальную составляющую вектора, который берется близко к элементу поверхности, для которого определяют поверхностную плотность связанных зарядов.
Итак, поверхностная плотность связанных зарядов на границе раздела двух диэлектриков равна:
σsv=P1n −P2n=−→n12(→P2−→P1)(5),где →n12 -- единичный вектор нормали, который направлен из первого диэлектрика во второй.
Плотность объемных связанных зарядов так же связана с вектором поляризации, а именно:
ρsv=−div→P(6).Формула (6) имеет следующий смысл: Точки с положительной дивергенцией вектора поляризации служат источниками поля вектора →P, из таких точек линии поля расходятся. Точки с отрицательной дивергенцией →P служат стоками поля вектора поляризации, к этим точкам линии сходятся. Это означает, что при поляризации диэлектрика связанные заряды, которые имею знак плюс, смещаются в направлении вектора →P, вернее, в направлении линий его поля. Отрицательные заряды смещаются в противоположном направлении. Как следствие, в местах положительной дивергенции вектора поляризации имеется избыток отрицательных связанных зарядов, а в местах с отрицательной дивергенцией →P -- избыток положительных зарядов.
Задание: Пластины плоского конденсатора заряжены с поверхностной плотностью заряда ?. Между пластинами конденсатора находятся две диэлектрические пластины, проницаемость которых равна ε1 и ε2. Они плотно прилегают друг к другу. Определить плотности связанных зарядов пластин из диэлектрика на границе их раздела (σ′).
Решение:
Рис. 2
Основой для решения задачи служит уравнение -- граничное условие для перехода вектора поляризации через границу двух диэлектриков:
σsv=P1n −P2n(1.1).Напряженности поля равны, вне диэлектрика:
Evak=σε0(1.2),внутри первого диэлектрика:
E1=σε1ε0(1.3),внутри второго диэлектрика:
E2=σε2ε0(1.4).Зная, что вектор поляризации в случае изотропного диэлектрика связан с напряженностью соотношением:
P=ε0ϰE (1.5).Используя (1.3), (1.4) и (1.5) запишем:
P1=ϰ1σε1(1.6),Найдем поверхностные плотности связанных зарядов для первого диалектика (верхняя) свободная поверхность:
σsv1=−P1=−σ(1−1ε1)(1.8).для второго диалектика (нижняя) свободная поверхность:
σsv2=P2=−σ(1−1ε2)(1.9).На границе раздела двух диэлектриков получим, что поверхностная плотность зарядов равна:
σsv=−уsv1−уsv2=ε1−ε2ε1ε2σ(1.10).Ответ: σsv=ε1−ε2ε1ε2у.
Задание: Бесконечная пластина из однородного, изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε заряжена равномерно сторонними зарядами, объемная плотность распределения этого заряда равна ρ. Толщина пластины 2а. Найдите объемную плотность связанных зарядов. Диэлектрическая проницаемость вещества вне пластины равна единице.
Решение:
Для бесконечной пластины диэлектрика напряженность поля зависит от одной координаты. Допустим, что ось X направлена перпендикулярно к плоскости пластины и ее начало совпадает с центром слоя диэлектрика. Напряженность бесконечной пластины легко находится из теоремы Остроградского - Гаусса и она равна:
{E=ρxεε0,|x|a(2.1),где σ=ρ⋅a -- поверхностная плотность заряда
Используя уравнение:
P=ε0ϰE (2.2).Найдем модуль вектора поляризации:
{P=ρϰxε,|x|a(2.3),Объемная плотность связанных зарядов равна:
ρsv=−div→P(2.4).Для нашего случая (2.4) преобразуется в:
ρsv=−dPdx=−ρϰε,где ε=1+ϰ, →ϰ=ε−1.
Ответ: ρsv=−с(ε−1)ε.
