Что такое потенциал поля
Физическая величина ($\varphi $), численно равная:
\[\varphi =\frac{W_p}{q}\ (1)\]есть потенциал поля в заданной точке.
Она используется для описания электрических полей на ряду, с напряженностью. Уравнение (1) показывает, что потенциал равен потенциальной энергии ($W_p$), которой обладал бы единичный положительный заряд. Потенциал точечного заряда в системе СИ равен:
\[\varphi =\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\frac{q}{r}\ \left(2\right).\]В системе СГС:
\[\varphi =\frac{1}{\varepsilon }\frac{q}{r}\ \left(3\right),\]где $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды (в обеих формулах).
Потенциал поля, которое создается системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, которые создают отдельные заряды:
\[\varphi =\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\sum\limits^N_{i=1}{\frac{q_i}{r_i}}\ \left(4\right).\]Допустим, что заряды находятся в области пространства объема V. Заряд непрерывно распределен в этой области с плотностью $\rho $, тогда потенциал может быть найден как:
\[\varphi =\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\int\limits_V{\frac{\rho dV}{r}}\left(5\right).\]Если заряд непрерывно распределен по поверхности (S) с поверхностной плотностью $\sigma $, тогда потенциал может быть найден как:
\[\varphi =\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\int\limits_S{\frac{\sigma dS}{r}}\left(6\right).\]Работа сил поля по перемещению заряда q может быть выражена с использованием разности потенциалов:
\[A=q\left({\varphi }_1-{\varphi }_2\right)\left(5\right),\]где ${\varphi }_1$ - потенциал начальной точки, ${\varphi }_2$- потенциал конечной точки. Принято считать, что потенциал равен нулю в бесконечности. Единицей потенциала в системе СИ является вольт (В).
\[1В=\frac{1Дж}{1Кл}.\]Разность потенциалов
Сам потенциал физического смысла не имеет, но явный физический смысл имеет разность потенциалов между разными точками. Разность потенциалов равна работе сил поля по перемещению единичного положительного заряда.
Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом имеет вид:
\[\overrightarrow{E}=-grad\varphi \left(6\right).\]Градиентом ($grad\varphi $) называют вектор, который равен:
\[grad\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\overrightarrow{k}.\]($\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$) -- единичные орты. Знак минус в формуле (6) означает, что напряженность направлена в сторону убывания потенциала.
Напряженность поля можно измерить в ходе эксперимента. Потенциал не имеет определенного количественного значения, следовательно, нет смысла говорить об определении его в эксперименте. Неоднозначность потенциала очевидна, так как если в формуле (6) к $\varphi $ добавить какую-то постоянную, поле, которое описывает потенциал, не изменится. Можно сделать вывод о том, что потенциал определен с точностью до постоянной.
Используя неоднозначность потенциала можно в любой заданной точке придать $\varphi $ любое значение. После этого во всех других точках значения потенциалов будут иметь определенные значения. Эта процедура придания однозначности потенциалу называется нормировкой потенциала.
В том случае, если рассматриваются поля около поверхности земли, то за ноль принимают потенциал земли. Если изучают поле в конечной области пространства, то часто потенциал на бесконечности считают равным нулю.
При непрерывном распределении заряда с конечной плотностью потенциал не обращается в бесконечность, ни в какой точке. Потенциал является непрерывной функцией, причем функция $\varphi $ конечна и конечны производные от нее по координатам.
Задание: Проводящая сфера имеет радиус $R$, центр ее находится в начале координат. Она заряжена с поверхностной плотностью $\sigma =kz,$ где $k=const$, $z$ -- координаты точек сферы. Найдите для центра сферы потенциал поля.
Решение:
В качестве основы для решения используем формулу:
\[\varphi =\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\int\limits_S{\frac{\sigma dS}{r}}\left(1.1\right),\]где $r=R$ - радиус сферы.
Запишем элемент поверхности сферы ($dS$) в сферических координатах, тогда он будет иметь вид:
\[dS=R^2sin\theta d\theta d \vartheta \left(1.2\right),\]где $0\le \theta \le \pi ,\ 0\le \vartheta \le 2\pi .\ $ Координату z точек поверхности сферы запишем как:
\[z=Rcos\theta \left(1.3\right).\]Подставим (1.2) и (1.3) в (1.1), получим:
\[\varphi =\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\int\limits^{2\pi }_0{d?}\int\limits^{\pi }_0{\frac{kRcos\theta R^2sin\theta d\theta }{R}=\frac{kR^2}{{\varepsilon }_0\varepsilon }}\left(\int\limits^{\pi }_0{cos\theta sin\theta d\theta }\right)=\frac{kR^2}{{\varepsilon }_0\varepsilon }\int\limits^{\pi }_0{\frac{sin2\theta d\theta }{2}}=\frac{kR^2}{4{\varepsilon }_0\varepsilon }\left(-{\left.cos2\theta \right|}^{\pi }_0\right)=-\frac{kR^2}{4{\varepsilon }_0\varepsilon }\left(1-1\right)=0.\]Ответ: Потенциал в центре сферы равен нулю.
Задание: Потенциал поля имеет вид:
\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,\]где $a,b$ -- постоянные больше нуля. Найдите напряженность поля и ее модуль.
Решение:
Основанием для решения задачи является формула:
\[\overrightarrow{E}=-grad\varphi =-\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\overrightarrow{k}\right)\left(2.1\right).\]Перепишем ее через проекции вектора напряженности, тогда получим:
\[\overrightarrow{E}=-\left(E_x\overrightarrow{i}+E_y\overrightarrow{j}+E_z\overrightarrow{k}\right),\]то есть:
\[E_x=-\frac{\partial \varphi}{\partial x},\ E_y=-\frac{\partial \varphi}{\partial y},\ E_z=-\frac{\partial \varphi}{\partial z}\left(2.2\right).\]Найдем частные производные от заданного в условии уравнения потенциала, получим соответствующие проекции вектора напряжённости:
\[E_x=-2ax,\ E_y=-2ay,\ E_z=-2bz\ \left(2.3\right).\]Найдем модуль вектора напряженности:
\[E=\sqrt{{E_x}^2+{E_y}^2+{E_z}^2}=2\sqrt{a^2x^2+a^2y^2+b^2z^2}.\]Ответ: $\overrightarrow{E}=2ax\overrightarrow{i}+2y\overrightarrow{j}+bz\overrightarrow{k}$. модуль вектора напряженности при этом равен $E=2\sqrt{a^2x^2+a^2y^2+b^2z^2}.$
