Теорема Остроградского - Гаусса
Одним из фундаментальных уравнений электростатики является теорема Остроградского - Гаусса:
«Поток вектора электрического смещения (ФD) (электрической индукции) через замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов (qi), которые находятся внутри этой поверхности)».
Математическая форма записи интегральной форме этой теоремы для электрического поля в диэлектрике выглядит следующим образом (система СИ):
Ф_D=\oint\limits_S{D_ndS}=\sum{q_i=}Q\ \left(1\right),где D_n -- нормальная составляющая вектора электрического смещения, dS -- элемент поверхности, через которую ищется поток вектора \overrightarrow{D}.
В дифференциальном виде эта же теорема выглядит следующим образом:
div\overrightarrow{D}=\rho \ \left(2\right),где \rho -- объемная плотность свободных зарядов. Выражения (1) и (2) справедливы не только в электростатике, они выполняются и для переменных полей. Уравнения (1) и (2) являются составной частью системы фундаментальных уравнений Максвелла для электродинамики.
В вакууме поле можно охарактеризовать одним вектором напряженности уравнения (1) или (2) записываются для него и их достаточно. В таком случае, если к ним добавляется теорема о циркуляции вектора напряженности:
\oint\limits_L{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}=0\ \left(3\right),}где \overrightarrow{E} -- вектор напряженности электрического поля, d\overrightarrow{s} -- элемент перемещения вдоль контура L. Интеграл в левой части уравнения (3) есть циркуляция вектора напряженности по контуру L. Характерным свойством электростатического поля является то, что циркуляция его вектора напряжённости по любому замкнутому контуру равна нулю.
В вакууме уравнения (1 или 2) и (3) образуют полную систему уравнений электростатики. В веществе этих уравнений не достаточно, так как необходимо описать поведение самой среды в электрическом поле. Следовательно, к выше названным уравнениям электростатики добавляют еще одно векторное уравнение, которое называют материальным уравнением. Оно связывает вектор напряженности поля (\overrightarrow{E}) и вектор электрического смещения (\overrightarrow{D}) или вектор напряженности поля и вектор поляризации (\overrightarrow{P}).
В основном, способ получения такого уравнения содержится уже в определении \overrightarrow{P}. Так как если нам известна атомная структура вещества, то можно рассчитать, как смещаются электроны и атомные ядра под воздействием электрического поля. Значит, можно вычислить вектор поляризации и таким образом получить нужное нам уравнение. Однако если идти данным путем, то в зависимости от конкретных условий могут получаться весьма разные соотношения, что неудобно.
Опыты показали, что для большого класса диэлектриков и широкого круга явлений связь между векторами поляризации (\overrightarrow{P}) и напряженности (\overrightarrow{E}) линейна и однородна, то есть:
\overrightarrow{P}=\varkappa {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}\ \left(4\right),где \varkappa -- диэлектрическая восприимчивость (безразмерная величина), уравнение записано в системе СИ. Такая связь между векторами \overrightarrow{P} и \overrightarrow{E} объясняется тем, что напряженности макроскопических полей невелики в сравнении с напряженностями внутри молекул и атомов. Уравнение выполняется, если диэлектрик изотропен. В таком случае векторы напряженности и поляризуемости коллинеарные. Коэффициент \varkappa \ зависит от плотности диэлектрика и температуры.
В анизотропных диэлектриках направление вектора напряженности и вектора поляризации не совпадают. И их связь устанавливается в виде:
P_i={\varepsilon }_0\sum\limits_j{{\varkappa }_{ij}E_j\left(5\right),}где индексы i,j -- нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат (i=x,\ y,z;j=x,\ y,z), {\varkappa }_{ij} -- тензор диэлектрической восприимчивости.
По определению, вектор $\overrightarrow{D}\$ равен:
\overrightarrow{D}={\varepsilon }_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}\left(6\right).Следовательно, для изотропного диэлектрика используем (4), запишем:
\overrightarrow{D}={\varepsilon }_0\overrightarrow{E}+\varkappa {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}=\left(1+\varkappa \right){\varepsilon }_0\overrightarrow{E}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}\left(7\right),где \varepsilon -- диэлектрическая проницаемость среды.
Материальные уравнения для векторов электрического поля
Итак, уравнения:
\overrightarrow{D}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}, \overrightarrow{P}=\varkappa {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}\ \left(8\right).называют материальными уравнениями для векторов электрического поля.
Эти соотношения, несмотря на их значимость, являются приближенными и не относятся к фундаментальным, так как область применения их ограничена. Существуют вещества, к которым уравнения (8) не применимы. Например, ионные кристаллы могут быть поляризованы в отсутствии внешнего поля. Поведение же, например, электретов (веществ, которые длительное время сохраняют состояние поляризации в отсутствии электрического поля) можно охарактеризовать вектором поляризации, который с вектором напряженности связан уравнением:
\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_0}+\varkappa \overrightarrow{E}\left(9\right),где \overrightarrow{P_0} и \varkappa не зависят от напряженности поля.
Задание: Бесконечная пластина из однородного, изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью\ \varepsilon заряжена равномерно сторонними зарядами, объемная плотность распределения этого заряда равна \rho . Толщина пластины 2а. Найдите поляризованность диэлектрика как функцию х (рис.1). Вне пластины диэлектрическую проницаемость среды считать равной единице.
Рис. 1
Решение:
Для бесконечной пластины диэлектрика напряженность поля зависит от одной координаты (в нашем случае - x). Допустим, что ось X направлена перпендикулярно к плоскости пластины и ее начало совпадает с центром слоя диэлектрика. Напряженность бесконечной пластины легко находится из теоремы Остроградского -- Гаусса. Выберем в качестве поверхности, поток через которую будем искать прямой цилиндр, ось которого параллельна оси X (рис.1)площадь основания равна S. В таком случае поток вектора напряженности для точек внутри пластины ($\ при\ |x| Ф_E=E\cdot S=\frac{q}{\varepsilon {\varepsilon }_0}=\frac{\rho Sx}{\varepsilon {\varepsilon }_0}\ \left(1.1\right),
где x -- высота цилиндра для внутренности пластины она изменяется от $-a
напряженность поля равна:
\[E=\frac{\rho x}{\varepsilon {\varepsilon }_0},\ -a Вне пластины (при \ |x| > a): E\cdot S=\frac{q}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho Sa}{{\varepsilon }_0}=\frac{\sigma S}{{\varepsilon }_0}\ \to E=\frac{\sigma }{{\varepsilon }_0}\left(1.3\right).Мы получили:
\left\{ \begin{array}{c} E=\frac{\rho x}{\varepsilon \varepsilon_0}, |x| a \end{array} \right.\left(1.4\right)Силовые линии, создаваемые полем пластины, направлены вдоль оси X.
Зная, что диэлектрик изотропный, используем связь напряженности и вектора поляризации, учитываем, что вне плоскости связанных зарядов нет:
\overrightarrow{P}=\varkappa {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}\ \left(1.5\right).Найдем модуль вектора поляризации:
\left\{ \begin{array}{c} P=\frac{\rho \varkappa x}{\varepsilon }=(1-\frac{1}{\varepsilon })\rho x, |x| a \end{array} \right.\left(1.6\right),\где \varepsilon =1+\varkappa ,\ \to \varkappa =\varepsilon -1. По направлению вектор поляризации будет совпадать с вектором напряженности.
Ответ: \left\{ \begin{array}{c} P=\left(1-\frac{1}{\varepsilon }\right)\rho x, |x| a. \end{array} \right.
Задание: На рис. 2 изображена картина линий вектора \overrightarrow{D}\ при переходе их одного диэлектрика ({\varepsilon }_1) в другой ({\varepsilon }_2). Какая из диэлектрических проницаемостей среды больше?
Рис. 2
Решение:
Рассмотрим, как ведут себя силовые линии при прохождении через границу раздела двух диэлектриков. В том случае, если на границе нет свободных зарядов, то должны выполняться граничные условия:
Для тангенциальной составляющей напряженности поля:
E_{\tau 1}=E_{\tau 2}\left(2.1\right).и нормальной составляющей:
{{\varepsilon }_1E}_{n1}={\varepsilon }_2E_{n2}\left(2.2\right).Если использовать функции углов, которые показаны на рис. 1, то получим:
E_1sin\alpha =E_2sin\beta \ \left(2.3\right). {{\varepsilon }_1E}_1cos\alpha ={\varepsilon }_2E_2cos\beta \left(2.4\right).Зная связь между напряженностью и вектором смещения для изотропного диэлектрика:
\overrightarrow{D}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}\ \left(2.5\right),запишем:
\frac{D_1}{{\varepsilon }_0{\varepsilon }_1}sin\alpha =\frac{D_2}{{\varepsilon }_0{\varepsilon }_2}sin\beta \ \to \frac{D_1}{{\varepsilon }_1}sin\alpha =\frac{D_2}{{\varepsilon }_2}sin\beta \left(2.6\right). \frac{D_1}{{\varepsilon }_0{\varepsilon }_1}{\varepsilon }_1cos\alpha ={\varepsilon }_2\frac{D_2}{{\varepsilon }_0{\varepsilon }_2}cos\beta \to D_1cos\alpha =D_2cos\beta \left(2.7\right).Разделим (2.6) на (2.7), получим:
\frac{tg\alpha }{{\varepsilon }_1}=\frac{tg\beta }{{\varepsilon }_2}\to \frac{tg\alpha }{tg\beta }=\frac{{\varepsilon }_1}{{\varepsilon }_2}\ \left(2.8\right).Из уравнения (2.8) видно, что при переходе через границу из диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью в диэлектрик с большей проницаемостью угол увеличивается, то есть силовая линия удаляется от нормали. Значит, для нашего случая {\varepsilon }_2>{\varepsilon }_1.
Ответ: {\varepsilon }_2>{\varepsilon }_1.
