Нахождение дипольного момента молекулы
Как уже неоднократно подчеркивалось, среднее макроскопическое поле в диэлектрике (→E) не всегда можно считать равным с полем, которое действует на каждую молекулу вещества (→E′). В особенности это касается плотных диэлектриков, жидкостей и газов, в которых молекулы находятся достаточно близко друг к другу и в результате →E′ не однородно на протяжении молекулы.
Будем считать молекулы точечными, то есть пренебрежем их размерами в сравнении со средними расстояниями между ними. В таком случае изменениями поля в пределах молекулы можно пренебречь, то есть считать, что поле →E′ относится к центру молекулы, на которую оно действует. В таком случае для нахождения дипольного момента молекулы (→p) можно записать следующее выражение:
где β поляризуемость молекулы.
Локальное поле →E′ можно рассчитать, используя модель Лоренца. И для неполярных молекул →E′ равно:
где →P -- вектор поляризованности кристалла. Эту формулу приближенно можно применить не только для кристаллов кубической системы, но и к неполярным жидкостям и газам, в которых молекулы расположены хаотично, если под вектором →E′ понимать действующее поле, усредненное по времени.
Расчет поляризации диэлектрика
Используем формулу для расчета поляризации диэлектрика (→P):
где n - концентрация молекул (количество молекул в единице объема) диэлектрика.
Формула Клаузиуса -- Моссотти
Воспользуемся определением вектора смещения, получаем равенство:
Так как для изотропного диэлектрика →D=εε0→E, то из (4), следует, что:
Формула (5), которая называется формулой Клаузиуса -- Моссотти, показывает, что для неполярных диэлектриков отношение, стоящее в левой части прямо пропорционально концентрации молекул, и, следовательно, плотности диэлектрика. Что хорошо подтверждается опытом. Помимо этого, если n=const, ε не зависит от температуры, так как β зависит только от строения молекулы. Этот факт также хорошо согласуется с опытом.
Формула Моссотти - Клаузиуса находится в удовлетворительном согласии с опытом для жидких и газообразных диэлектриков с неполярными молекулами, несмотря на то, что в жидкостях не выполняется условие точечности молекул. Для полярных диэлектриков формула (5) неприменима.
В системе СГС формула Моссотти -- Клаузиуса примет вид:
ε−1ε+2=4π3nβ (6).Формулу Моссотти -- Клаузиуса можно представить в виде (СИ):
3(ε−1)ε+2μρm=βNA (7),где NA -- постоянная Авогадро, ρm -- плотность вещества, μ -- молярная масса вещества.
Задание: Диэлектрическая восприимчивость ? аргона (μ=4⋅10−2кгмоль) при нормальных условиях равна ϰ=5,54⋅10−4. Определите диэлектрическую проницаемость жидкого аргона (ε), если его плотность при этом ρ=1,4⋅103кгм3.
Решение:
За основу решения примем формулу Моссотти -- Клаузиуса в СИ:
3(ε−1)ε+2μρm=βNA (1.1).При нормальных условиях концентрация молекул равна n=2, 69⋅1025м−3 (число Лошмидта).
Связь между диэлектрической восприимчивостью и поляризуемостью молекулы выражается формулой:
ϰ=nβ(1.2).Тогда β равно:
β=ϰn(1.3).Выразим ε из уравнения (1.1), получим:
(ε−1)ε+2=ρmβNA3μ→3μ(ε−1)=ρmβNA(ε+2)→3με−3μ=ρmβNAε+2ρmβNA→ε=3μ+2ρmβNA3μ−ρmβNA(1.4).Так мы получили, что диэлектрическая проницаемость жидкого аргона равна:
ε=3μ+2ρmβNA3μ−ρmβNA.Рассчитаем сначала β по формуле (1.3), чтобы уменьшить громоздкость вычислений:
β=5,54⋅10−42, 69⋅1025=2,059⋅10−29.Рассчитаем искомую диэлектрическую проницаемость, зная что NA=6,02⋅1023моль−1:
ε=3⋅4⋅10−2+2⋅2,059⋅10−29⋅6,02⋅1023⋅14003⋅4⋅10−2−2,059⋅10−29⋅6,02⋅1023⋅1400≈1,507Ответ: Для жидкого аргона ε≈1,507.
Задание: Определите при каком наибольшем значении ϰ=nβ, формула Моссотти -- Клаузиуса примет вид более простой: ε=1+ϰ, но погрешность при вычислении ε в таком случае составит не больше чем 1%.
Решение:
За основу решения примем формулу Моссотти -- Клаузиуса в СИ:
(ε−1)ε+2=βn3 (2.1).Выразим из (2.1) диэлектрическую проницаемость, получим:
3(ε−1)=βn(ε+2)→3ε−3=βnε+2βn→3ε−βnε=2βn+3 (2.2).Получим что из (2.2) ε равна:
ε=2βn+3 3−βn(2.3).Запишем уравнение для погрешности (δ):
δ=|1−(1+βn):2βn+33−βn| (2.4).Из (2.4) получаем, что:
1±δ=(1+βn)(3−βn)(2βn+3)(2.5).Рассмотрим случай 1, когда принимаем 1+δ=1+0,01=1,01, получаем из (2.5):
1,01(2βn+3)=(1+βn)(3−βn) (2.6).Преобразуем (2.6) в квадратное уравнение получаем:
(βn)2+0,02βn+0,03=0 (2.7).Если найти дискриминант такого уравнения он получится меньше нуля, следовательно, вещественных корней у уравнения нет.
Рассмотри второй случай. 1- δ=0,99. Получим квадратное уравнение:
(βn)2−0,02βn−0,03=0 (2.8). D=0,124>0 (2.9). βn=0,02±√0,1242; (βn)1=0,183;; (βn)2=−0,163.Ответ: ϰ≤0,183.
