Нахождение дипольного момента молекулы
Как уже неоднократно подчеркивалось, среднее макроскопическое поле в диэлектрике ($\overrightarrow{E}$) не всегда можно считать равным с полем, которое действует на каждую молекулу вещества ($\overrightarrow{E'}$). В особенности это касается плотных диэлектриков, жидкостей и газов, в которых молекулы находятся достаточно близко друг к другу и в результате $\overrightarrow{E'}$ не однородно на протяжении молекулы.
Будем считать молекулы точечными, то есть пренебрежем их размерами в сравнении со средними расстояниями между ними. В таком случае изменениями поля в пределах молекулы можно пренебречь, то есть считать, что поле $\overrightarrow{E'}$ относится к центру молекулы, на которую оно действует. В таком случае для нахождения дипольного момента молекулы ($\overrightarrow{p}$) можно записать следующее выражение:
где $\beta $ поляризуемость молекулы.
Локальное поле $\overrightarrow{E'}$ можно рассчитать, используя модель Лоренца. И для неполярных молекул $\overrightarrow{E'}\ $ равно:
где $\overrightarrow{P}$ -- вектор поляризованности кристалла. Эту формулу приближенно можно применить не только для кристаллов кубической системы, но и к неполярным жидкостям и газам, в которых молекулы расположены хаотично, если под вектором $\overrightarrow{E'}$ понимать действующее поле, усредненное по времени.
Расчет поляризации диэлектрика
Используем формулу для расчета поляризации диэлектрика ($\overrightarrow{P}$):
где $n$ - концентрация молекул (количество молекул в единице объема) диэлектрика.
Формула Клаузиуса -- Моссотти
Воспользуемся определением вектора смещения, получаем равенство:
Так как для изотропного диэлектрика $\overrightarrow{D}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E},$ то из (4), следует, что:
Формула (5), которая называется формулой Клаузиуса -- Моссотти, показывает, что для неполярных диэлектриков отношение, стоящее в левой части прямо пропорционально концентрации молекул, и, следовательно, плотности диэлектрика. Что хорошо подтверждается опытом. Помимо этого, если $n=const$, $\varepsilon $ не зависит от температуры, так как $\beta $ зависит только от строения молекулы. Этот факт также хорошо согласуется с опытом.
Формула Моссотти - Клаузиуса находится в удовлетворительном согласии с опытом для жидких и газообразных диэлектриков с неполярными молекулами, несмотря на то, что в жидкостях не выполняется условие точечности молекул. Для полярных диэлектриков формула (5) неприменима.
В системе СГС формула Моссотти -- Клаузиуса примет вид:
\[\frac{\varepsilon -1}{\varepsilon +2}=\frac{4\pi }{3}n\beta \ \left(6\right).\]Формулу Моссотти -- Клаузиуса можно представить в виде (СИ):
\[\frac{3(\varepsilon -1)}{\varepsilon +2}\frac{\mu }{{\rho }_m}=\beta N_A\ \left(7\right),\]где $N_A$ -- постоянная Авогадро, ${\rho }_m$ -- плотность вещества, $\mu $ -- молярная масса вещества.
Задание: Диэлектрическая восприимчивость ? аргона ($\mu =4\cdot 10^{-2}\frac{кг}{моль}$) при нормальных условиях равна $\varkappa =5,54\cdot {10}^{-4}$. Определите диэлектрическую проницаемость жидкого аргона ($\varepsilon $), если его плотность при этом $\rho =1,4\cdot 10^3\frac{кг}{м^3}.$
Решение:
За основу решения примем формулу Моссотти -- Клаузиуса в СИ:
\[\frac{3(\varepsilon -1)}{\varepsilon +2}\frac{\mu }{{\rho }_m}=\beta N_A\ \left(1.1\right).\]При нормальных условиях концентрация молекул равна $n=2,\ 69\cdot 10^{25}м^{-3}$ (число Лошмидта).
Связь между диэлектрической восприимчивостью и поляризуемостью молекулы выражается формулой:
\[\varkappa =n \beta \left(1.2\right).\]Тогда $\beta$ равно:
\[\beta=\frac{\varkappa }{n}\left(1.3\right).\]Выразим $\varepsilon $ из уравнения (1.1), получим:
\[\frac{\left(\varepsilon -1\right)}{\varepsilon +2}=\frac{{\rho }_m\beta N_A}{3\mu }\to 3\mu \left(\varepsilon -1\right)={\rho }_m\beta N_A\left(\varepsilon +2\right)\to 3\mu \varepsilon -3\mu ={\rho }_m\beta N_A\varepsilon +2{\rho }_m\beta N_A\to \varepsilon =\frac{3\mu +2{\rho }_m\beta N_A}{3\mu -{\rho }_m\beta N_A}\left(1.4\right).\]Так мы получили, что диэлектрическая проницаемость жидкого аргона равна:
\[\varepsilon =\frac{3\mu +2{\rho }_m\beta N_A}{3\mu -{\rho }_m\beta N_A}.\]Рассчитаем сначала $\beta $ по формуле (1.3), чтобы уменьшить громоздкость вычислений:
\[\beta =\frac{5,54\cdot {10}^{-4}}{2,\ 69\cdot 10^{25}}=2,059\cdot 10^{-29}.\]Рассчитаем искомую диэлектрическую проницаемость, зная что $N_A=6,02\cdot {10}^{23}моль^{-1}$:
\[\varepsilon =\frac{3\cdot 4\cdot 10^{-2}+2\cdot 2,059\cdot 10^{-29}\cdot 6,02\cdot {10}^{23}\cdot 1400}{3\cdot 4\cdot 10^{-2}-2,059\cdot 10^{-29}\cdot 6,02\cdot {10}^{23}\cdot 1400}\approx 1,507\]Ответ: Для жидкого аргона $\varepsilon \approx 1,507.$
Задание: Определите при каком наибольшем значении $\varkappa =n\beta $, формула Моссотти -- Клаузиуса примет вид более простой: $\varepsilon =1+\varkappa $, но погрешность при вычислении $\varepsilon $ в таком случае составит не больше чем 1%.
Решение:
За основу решения примем формулу Моссотти -- Клаузиуса в СИ:
\[\frac{(\varepsilon -1)}{\varepsilon +2}=\frac{\beta n}{3}\ \left(2.1\right).\]Выразим из (2.1) диэлектрическую проницаемость, получим:
\[3\left(\varepsilon -1\right)=\beta n\left(\varepsilon +2\right)\to 3\varepsilon -3=\beta n\varepsilon +2\beta n\to 3\varepsilon -\beta n\varepsilon =2\beta n+3\ \left(2.2\right).\]Получим что из (2.2)$\ \varepsilon $ равна:
\[\varepsilon =\frac{2\beta n+3\ }{3-\beta n}\left(2.3\right).\]Запишем уравнение для погрешности ($\delta $):
\[\delta =\left|1-\left(1+\beta n\right):\frac{2\beta n+3}{3-\beta n}\right|\ \left(2.4\right).\]Из (2.4) получаем, что:
\[1\pm \delta =\frac{\left(1+\beta n\right)\left(3-\beta n\right)}{\left(2\beta n+3\right)}\left(2.5\right).\]Рассмотрим случай 1, когда принимаем $1+\delta =1+0,01=1,01$, получаем из (2.5):
\[1,01\left(2\beta n+3\right)=\left(1+\beta n\right)\left(3-\beta n\right)\ \left(2.6\right).\]Преобразуем (2.6) в квадратное уравнение получаем:
\[{\left(\beta n\right)}^2+0,02\beta n+0,03=0\ \left(2.7\right).\]Если найти дискриминант такого уравнения он получится меньше нуля, следовательно, вещественных корней у уравнения нет.
Рассмотри второй случай. 1-$\ \delta =0,99$. Получим квадратное уравнение:
\[{\left(\beta n\right)}^2-0,02\beta n-0,03=0\ \left(2.8\right).\] \[D=0,124>0\ \left(2.9\right).\] \[\ \beta n=\frac{0,02\pm \sqrt{0,124}}{2};\] \[{\left(\beta n\right)}_1=0,183;;\ {\left(\beta n\right)}_2=-0,163.\]Ответ: $\varkappa \le 0,183$.
