Вынужденные колебания в контуре. Резонанс

Уравнение вынужденных колебаний

Вынужденными колебаниями называют периодические изменения параметров, которые описывают систему под влиянием внешней силы. Для реализации вынужденных электрических колебаний в $RLC$ контуре в него включают переменную ЭДС (рис.1).

Рисунок 1.

В общем случае вынужденные колебания в таком контуре можно записать как:

где $L$ -- индуктивность, $R$ -- сопротивление, $C$ -- емкость, $U\left(t\right)$ -- внешнее воздействие.

Рассмотрим случай, когда в контур подается переменное напряжение ($U$) изменяющееся по гармоническому закону:

Тогда уравнение колебаний запишется в виде:

где ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$- собственная частота колебаний контура, $\beta =\frac{R}{2L}.$ По аналогии с механическими колебаниями можно записать частное решение данного уравнения как:

где $q_m=\frac{U_m}{\omega \sqrt{{R^2+\left(\omega L-1/\omega C\right)}^2}},\ tg\Psi=\frac{R}{\frac{1}{\omega C}-\omega L}$.

Как известно, общее решение неоднородного уравнения получают как сумму частного решения данного уравнения (в нашем случае это (4)) и общего решения соответствующего однородного уравнения. Так для уравнения:

общим решением является выражение:

Так как выражение (6) содержит множитель $e^{\left(-\beta t\right)}$, то при $t\to \infty ,\ $ $e^{\left(-\beta t\right)}\to 0,$ поэтому для установившихся колебаний решением уравнения (3) считают функцию (4).

Сила тока для установившихся вынужденных колебаний может быть записана как:

где $I_m={\omega q}_m$, $\varphi =\Psi-\frac{\pi }{2}$ -- сдвиг фаз между тока и приложенного напряжения. Соответственно:

Надо отметить, что выполняется равенство:

Выражение (9) означает, что сумма напряжений на каждом из элементов цепи в момент времени $t$ равна приложенному напряжению.

Резонанс

Появление сильных колебаний при частоте внешней силы равной (или почти равной) собственной частоте колебательного контура, называют резонансом. Суть явления заключается в том, что как бы одиночные «толчки» усиливают друг друга. В таком случае получается, что энергия, которая вкладывается в систему, является максимальной. Амплитуда колебаний нарастает до тех пор, пока увеличивающиеся силы трения (в среднем) за период толчка не станут компенсировать действие каждого «толчка». В этот момент устанавливается максимум энергии и максимум амплитуды.

Резонансной частотой для заряда (${\omega }_{qr}$) и напряжения (${\omega }_{Cr}$) на конденсаторе являются частоты, заданные уравнениями:

Резонансные кривые для заряда и напряжения на конденсаторе имеют одинаковый вид (рис.2).

Рисунок 2.

Если $\omega =0$ кривые (рис.2) сходятся в одной точке, при этом напряжение на конденсаторе равно напряжению, которое возникает на нем при подключении источника:

Максимум резонансной кривой выше и острее, чем меньше коэффициент затухания (меньше $R$, больше $L$).

Кривые для силы тока изображены на рис. 3. Амплитудное значение силы тока максимально, если $\omega L-\frac{1}{\omega C}=0.\ $Частота силы тока при резонансе (${\omega }_{Ir}$):

Рисунок 3.