Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Резонанс токов

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Резонанс токов

Комплексная форма представления величин, которые характеризуют электрические колебания

Используем комплексную форму представления величин изменяющихся по гармоническому закону. Рассматривать будем установившийся режим. Если внешнее напряжение, подаваемое на цепь, изменяется по закону:

то сила тока должна изменяться как:

надо заметить, что величины $U{,U}_m,I{,I}_m$ в общем случае могут быть комплексными. Уравнение Ома для переменного тока в принятой форме обозначения имеет вид:

где импеданс $Z=R+i\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right).$ В такой форме представления импеданс учитывает не только соотношение между амплитудами тока и напряжения, но и соотношение между их фазами. При этом:

Резонанс токов

В разветвленной цепи (рис.1) с двумя ветвями, одна из которых имеет индуктивность $L$, другая емкость ($C$) при равенстве $\omega L=\frac{1}{\omega C}$ наступает резонанс токов.

Готовые работы на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость

Допустим, что у нас имеется цепь, которая изображена на рис.1.



Рисунок 1.

Сила тока, которая течет в цепи, равна:

Запишем уравнение (5) в комплексном представлении:

Если

то получается, что сдвиг фаз между внешним напряжением и силой тока равен нулю. Разделим уравнение (7) на ${\omega }^2LC$, получим:

В том случае, если принять, что $\omega L\gg R$, то решением уравнения служит частота равная:

Частота ${\omega }0$ называется резонансной частотой. При резонансной частоте импеданс максимален, а амплитуда силы тока минимальна. Однако силы тока на емкости и индуктивности не являются минимальными. Векторная диаграмма сил токов для контура рис.1 изображена на рис.2.



Рисунок 2.

В условиях приближения к резонансу диаграмма токов приобретает вид, который отображен на рис.3. При частоте, близкой к ${\omega }_0$ внутри контура циркулируют большие токи по сравнению с токами, которые подводят к данному контуру. Заряд внутри контура течет от емкости к индуктивности и наоборот. В контуре происходят колебания силы тока. В резонансе друг с другом находятся силы тока $I_C\ и\ I_L.$ Они компенсируют друг друга. Такой резонанс называют резонансом токов.



Рисунок 3.

Контур рис.1 выступает как резонансная система, которая совершает вынужденные колебания, под воздействием внешней силы. Колебания тока первым рассмотрел Томсон в 1853 г.

Замечание

Отсутствие в цепи (или приближенное равенство нулю) активного сопротивления говорит о том, что энергия, запасённая в контуре, не рассеивается.

Замечание 1

Одним из элементов электронного генератора является колебательный контур в состоянии резонанса токов. Резонанс токов используют в полосно -- заграждающих фильтрах.

Пример 1

Задание: Объясните, что происходит с энергией в контуре с параллельными емкостью и индуктивностью (рис.1). Если считать, что активное сопротивление равно нулю.

Решение:

В течение первой четверти периода напряжение на конденсаторе от нуля увеличивается до максимума ($U_{mC}$), при этом его энергия становится равна:

\[W_{mC}=\frac{CU_{mC}}{2}\left(1.1\right).\]

В течение следующей четверти периода напряжение на конденсаторе уменьшается до нуля. Происходит освобождение энергии электрического поля.

За первую четверть периода колебаний в контуре ток в катушке от $I_{mL}$ уменьшается до нуля .Происходит освобождение энергии магнитного поля. За вторую четверть периода ток в катушке увеличивается до $I_{mL}$, энергия магнитного поля растет до величины:

\[W_{mL}=\frac{L{I^2}_{mL}}{2}\left(1.2\right).\]

В течение первой четверти периода колебаний кинетическая энергия магнитного поля преобразуется в потенциальную энергию электрического поля, в течение следующей четверти периода идет обратный процесс. Обмен энергиями повторяется. При этом обмена энергией между контуром и источником питания нет, так как суммарный ток (ток в неразветвленной цепи равен нулю).

Пример 2

Задание: Чему равна ширина резонансной кривой, если в колебательный контур входят L, C?

Решение:

Ширина резонансной кривой ($2\triangle \omega $) определяется относительно квадрата амплитуды и ее можно определить как:

\[2\triangle \omega =\frac{{\omega }_0}{O}\left(2.1\right)\]

Резонансную частоту выразим как:

\[{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\left(2.2\right).\]

Добротность контура $O$ равна:

\[O=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\left(2.3\right).\]

Подставим правые части выражений (2.2) и (2.3) в (2.1), получим:

\[2\triangle \omega =\frac{R}{L}.\]

Ответ: $2\triangle \omega =\frac{R}{L}.$

Ограниченное предложение
Введите email чтобы зафиксировать скидку
300 ₽
На любой первый заказ в Автор24