Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Колебания в связанных контурах

Определение связности контуров. Уравнения для системы проводников

Определение 1

Два контура называют связанными, если между ними существует электрическая связь, из-за которой часть энергии одного контура может передаваться во второй и наоборот.

Любой из контуров, по которому течет переменный ток, является источником переменного магнитного поля. В соответствии с законом электромагнитной индукции это поле создает в других контурах, которые находятся в этом поле ЭДС, которая изменяет силу токов, находящихся во внешнем магнитном поле. Получается, что контуры связаны между собой через электромагнитную индукцию.

Полный магнитный поток, который пронизывает контур с номером k можно определить как:

где Lkk- индуктивность контура k. Lki -- взаимная индуктивность контуров k- го и i-го. Количество проводников при этом равно N. Если емкости в цепях считать равными нулю, то с учетом электромагнитной индукции сила тока в контуре с номером k можно найти из уравнения:

где Uk -- сторонняя движущая сила в контуре k. Если использовать (1), подставить его в (2), то получим:

где k=1,2,...,N.

Колебания, связанные через индуктивность

Пусть мы имеем систему из двух LC контуров, которые связаны между собой через индуктивность (рис.1). Допустим, что сопротивления таких контуров мало (R0). Внешние силы на систему не действуют, значит, мы имеем дело со свободными колебаниями. Понятно, что колебания, которые происходят в одном контуре, влияют на колебания в другом контуре. Подобные колебания называют связанными.



Рисунок 1.

«Колебания в связанных контурах» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Колебания, связанные через индуктивность описываются дифференциальными уравнениями:

Или, что то же самое:

Уравнения (5) представим в виде:

где мы вводим обозначения:

Первое частное решение системы уравнений (3) имеет вид:

Второе частное решение системы (6):

где

Общее решение системы (6) линейная комбинация частных решений:

где C1 и C2 -- произвольные комплексные постоянные, которые находятся из начальных условий.

Колебания, связанные через емкость

Рассмотрим колебательные контуры с емкостной связью (рис.2).



Рисунок 2.

В случае, представленном на рис.2 колебания в такой системе описываются равнениями:

Если учесть, что:

то уравнение (12) можно преобразовать к виду:

где мы вводим обозначения:

Если сравнить системы уравнений (14) и (6), очевидно, что данные системы уравнений однотипны. Это линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Следовательно, система (14) решается аналогично системе (6).

Пример 1

Задание: Два одинаковых контура связаны через емкости. Найдите частоты (ω1 и ω2 ), с которыми совершают колебания каждый из контуров.

Решение:

Уравнения, описывающих колебания контуров, связанных через емкости:

¨I1+a11I1+a12I2=0, ¨I2+a21I1+a22I2=0(1.1),

где:

a11=1L1(1C1+1C), a12=1L1C, a21=1L2C, a22=1L2(1C2+1C).

Общее решение системы (1.1):

I1=C1eiω1t+C2eiω2t, I2=h1eiω1t+h2eiω2t(1.2),

где h1=ω21a11a12=a21ω21a22, h2=ω22a11a12=a21ω22a22 

Если контуры одинаковы, то для коэффициентов можно записать соотношения:

a11=a22, a12=a21(1.3).

Тогда мы имеем:

ω21=a11+a12, ω22=a11a12, h1=1, h2=1(1.4).

Следовательно:

ω21=1L1(1C1+2C), ω22=1L1C1.

Ответ: ω1=1L1(1C1+2C), ω2=1L1C1.

Пример 2

Задание: Допустим, что в симметричном случае связь между контрами слабая. Какое явление может возникать в двух связанных контурах?

Решение:

Для уравнения, которое описывает колебания слова «слабая связь между контурами» означает, что коэффициенты a12=a21 малы. Это означает, что частоты ω1 и ω2 приблизительно равны, и близки к собственной частоте контура (ω0), которая равна:

ω0=a11(2.1).

На протяжении нескольких колебаний токи (в случае емкостной связи) изменяются так, как будто связи между контурами не существует. Наличие слабой связи приводит к возникновению биений. Когда амплитуда одного тока проходит через максимум, другая равна нулю и наоборот.

Дата последнего обновления статьи: 26.04.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Колебания в связанных контурах"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant