Определение связности контуров. Уравнения для системы проводников
Два контура называют связанными, если между ними существует электрическая связь, из-за которой часть энергии одного контура может передаваться во второй и наоборот.
Любой из контуров, по которому течет переменный ток, является источником переменного магнитного поля. В соответствии с законом электромагнитной индукции это поле создает в других контурах, которые находятся в этом поле ЭДС, которая изменяет силу токов, находящихся во внешнем магнитном поле. Получается, что контуры связаны между собой через электромагнитную индукцию.
Полный магнитный поток, который пронизывает контур с номером k можно определить как:
где Lkk- индуктивность контура k. Lki -- взаимная индуктивность контуров k- го и i-го. Количество проводников при этом равно N. Если емкости в цепях считать равными нулю, то с учетом электромагнитной индукции сила тока в контуре с номером k можно найти из уравнения:
где Uk -- сторонняя движущая сила в контуре k. Если использовать (1), подставить его в (2), то получим:
где k=1,2,...,N.
Колебания, связанные через индуктивность
Пусть мы имеем систему из двух LC контуров, которые связаны между собой через индуктивность (рис.1). Допустим, что сопротивления таких контуров мало (R≈0). Внешние силы на систему не действуют, значит, мы имеем дело со свободными колебаниями. Понятно, что колебания, которые происходят в одном контуре, влияют на колебания в другом контуре. Подобные колебания называют связанными.
Рисунок 1.
Колебания, связанные через индуктивность описываются дифференциальными уравнениями:
Или, что то же самое:
Уравнения (5) представим в виде:
где мы вводим обозначения:
Первое частное решение системы уравнений (3) имеет вид:
Второе частное решение системы (6):
где
Общее решение системы (6) линейная комбинация частных решений:
где C1 и C2 -- произвольные комплексные постоянные, которые находятся из начальных условий.
Колебания, связанные через емкость
Рассмотрим колебательные контуры с емкостной связью (рис.2).
Рисунок 2.
В случае, представленном на рис.2 колебания в такой системе описываются равнениями:
Если учесть, что:
то уравнение (12) можно преобразовать к виду:
где мы вводим обозначения:
Если сравнить системы уравнений (14) и (6), очевидно, что данные системы уравнений однотипны. Это линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Следовательно, система (14) решается аналогично системе (6).
Задание: Два одинаковых контура связаны через емкости. Найдите частоты (ω1 и ω2 ), с которыми совершают колебания каждый из контуров.
Решение:
Уравнения, описывающих колебания контуров, связанных через емкости:
¨I1+a11I1+a12I2=0, ¨I2+a21I1+a22I2=0(1.1),где:
a11=1L1(1C1+1C), a12=1L1C, a21=1L2C, a22=1L2(1C2+1C).Общее решение системы (1.1):
I1=C1eiω1t+C2eiω2t, I2=h1eiω1t+h2eiω2t(1.2),где h1=ω21−a11a12=a21ω21−a22, h2=ω22−a11a12=a21ω22−a22
Если контуры одинаковы, то для коэффициентов можно записать соотношения:
a11=a22, a12=a21(1.3).Тогда мы имеем:
ω21=a11+a12, ω22=a11−a12, h1=1, h2=−1(1.4).Следовательно:
ω21=1L1(1C1+2C), ω22=1L1C1.Ответ: ω1=√1L1(1C1+2C), ω2=√1L1C1.
Задание: Допустим, что в симметричном случае связь между контрами слабая. Какое явление может возникать в двух связанных контурах?
Решение:
Для уравнения, которое описывает колебания слова «слабая связь между контурами» означает, что коэффициенты a12=a21 малы. Это означает, что частоты ω1 и ω2 приблизительно равны, и близки к собственной частоте контура (ω0), которая равна:
ω0=√a11(2.1).На протяжении нескольких колебаний токи (в случае емкостной связи) изменяются так, как будто связи между контурами не существует. Наличие слабой связи приводит к возникновению биений. Когда амплитуда одного тока проходит через максимум, другая равна нулю и наоборот.