Существование постоянного тока в цепи обеспечивает наличие источника ЭДС. Однако если у нас достаточно длинный проводник и удален он на большое расстояние от источника, напряженность поля, которое создают заряды батареи, относительно мала. Источник ЭДС не может быть непосредственным источником поля внутри проводника. Единственным источником постоянного электрического поля служит исключительно электрический заряд. Следовательно, вопрос об источниках поля в проводнике сводится к выяснению типа зарядов, которые порождают поле в проводнике и их местоположению.
Поле вне проводника. Поверхностные заряды
Если поместить проводник с током в плоскую ванночку с тонким слоем диэлектрического порошка, то отдельные крупинки порошка будут располагаться цепочками вдоль силовых линий поля. При этом силовые линии электрического поля не будут касаться поверхности проводника. Следовательно, около поверхности вне проводника есть и тангенциальная составляющая напряженности поля ($E_{\tau }$), и нормальная составляющая ($E_n$). (При этом $E_n$=0 внутри проводника). А так как возле внешней поверхности проводника $E_n\ne 0$, на поверхности проводника существуют заряды, распределенные по поверхности с плотностью $\sigma $, которую можно найти как:
Статья: Электрическое поле в проводнике с током и его источники
где $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится проводник, ${\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}^{-12}\frac{Ф}{м}$-электрическая постоянная.
Уравнение (1) означает, что на поверхности проводника с током есть электрические заряды. Именно эти заряды - источники поля, которое существует в проводнике, и являются необходимым условием существования постоянного тока. $\sigma $ может иметь разные знаки на разных участках проводника.
Если проводник однородный, то в нем существуют только поверхностные макроскопические заряды. Это следует из закона сохранения заряда, который в дифференциальной форме имеет вид:
где $\overrightarrow{j}$ --вектор плотности тока, $\rho \ $-- объемная плотность заряда. Для стационарного случая:
Объёмные заряды
В том случае, если проводимость изменяется от точки к точке (проводник неоднородный относительно проводимости), возникают объемные заряды.
Объемный заряд в веществе может быть и объемным и связанным. Нам интересна суммарная плотность заряда, которая ведет к изменению напряжённости электрического поля вдоль проводника. Суммарную объемную плотность заряда можно зависать как:
где $\lambda $ -- удельная проводимость (электропроводность), $\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{j}}{\lambda }.$ Учтем, что:
из (4), для стационарных токов $div\left(\overrightarrow{j}\right)=0$ получим:
Допустим, что ось X направлена вдоль прямолинейного участка рассматриваемого проводника. Будем считать, проводимость изменяется только в этом направлении, тогда из (6) получим:
Из уравнения (7) можно заключить, что если в направлении тока проводимость ($\lambda $) уменьшается, то объемная плотность зарядов положительна. Это легко объяснимо. При постоянном сечении проводника плотность тока вдоль проводника постоянна, если $\lambda $ уменьшается, значит должна увеличиваться напряженность поля. Напряженность поля увеличивается за счет объемных положительных зарядов.
Общее и различное в электрическом поле стационарных токов и электростатическом поле
Между электрическим полем стационарных токов и электростатическим полем существует общее. Так, если токи стационарны, то макроскопические заряды могут находиться только на поверхности проводника или в местах неоднородности среды. Кроме этого, необходимо отметить, что если точки не меняют свое положение в пространстве, то поверхностная плотность электрических зарядов в каждой точке поверхности проводника не изменяется во времени, не смотря на то, что происходит движение электричества (то есть на место зарядов, которые ушли, приходят новые). Такие заряды создают вокруг себя такое же кулоновское поле, как и стационарные заряды такой же плотности. Можно сделать вывод о том, что электрическое поле стационарных токов -- потенциальное поле.
Однако существуют и значимые различия. Электростатическое поле создается неподвижными кулоновскими зарядами. Внутри проводника в состоянии равновесия оно равно нулю. Поле стационарных токов также имеет кулоновское происхождение, однако заряды, которые его создают, находятся в движении. Поле токов существует и внутри проводников. В противном случае токи бы не существовали. Силовые линии электростатического поля всегда перпендикулярны поверхности проводника. Для поля стационарных токов это не обязательно.
Задание: Определите форму силовых линий электрического поля между двумя деревянными пластинами. Если пластины длинные, однородные. Боковые края пластин с одной стороны соединены проводником из металла, с другой поддерживаются при постоянном напряжении U (рис.1). Расстояние между пластинами равно d, ширина каждой пластины h.
Рис. 1
Решение:
Поле, которое задано в условиях задачи является потенциальным, следовательно, оно удовлетворяет уравнению Лапласа (для двух координат):
\[\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=0\ \left(1.1\right).\]На проводнике AC (то есть при y=0) потенциал обращается в постоянную, которую мы примем равной нулю. Решением уравнения (1.1) будет выражение:
\[\varphi =\alpha xy+\beta y\ \left(1.2\right),\]где $\alpha \ и\ \beta $ -- постоянные. Так как потенциал симметричен, то должно быть:
\[\varphi \left(-x\right)=-ц\left(x\right)\left(1.3\right).\]Для выполнения условия (1.3) необходимо положить $\beta =0$, то есть имеем:
\[\varphi =\alpha xy\left(1.4\right).\]В таком случае, зная связь потенциала с напряженностью получим:
\[E_x=-\frac{\partial \varphi }{\partial x}=-\alpha y,\ E_y=-\frac{\partial \varphi }{\partial y}=-\alpha x\ \left(1.5\right).\]По условию задачи между точками B и D поддерживается постоянная разность потенциалов равная U. ${\varphi }_B=\frac{U}{2}{\varphi }_D=-\frac{U}{2}.$ Напряжённость поля ($E_y$) на поверхности пластины AB равна:
\[E_y=-\frac{U}{2h}=\frac{\alpha d}{2}\to \alpha =-\frac{U}{hd}\left(1.6\right).\]Из (1.5) и (1.6) получим:
\[E_x=\frac{U}{hd}y,\ E_y=\frac{U}{hd}x\ \left(1.7\right).\]Уравнение силовой линии найдем, используя уравнение:
\[\frac{dx}{E_x}=\frac{dy}{E_y}\left(1.8\right).\]Подставим в (1.8) компоненты вектора напряженности из (1.7) получим уравнение силовой линии:
\[\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}\to xdx=ydy\to y^2-x^2=const\left(1.9\right).\]Из (1.9) следует, что силовые линии -- гиперболы. Если постоянная в уравнении (1.9) больше нуля, то оси гипербол совпадают с осью Y, если меньше, то с осью X.
Ответ: Гиперболы.
Задание: Показать, что закон преломления линий постоянного тока на границе двух проводников имеет вид: $\frac{tg{\alpha }_2}{tg{\alpha }_1}=\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}$, где ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ -- удельные электропроводности проводников, ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ -- углы между линией тока и нормалью к поверхности.
Решение:
Исходя из того, что поля стационарных токов потенциальны, можно записать, что тангенциальные составляющие на границе перехода непрерывны, то есть:
\[E_{1\tau }=E_{2\tau }\left(2.1\right).\]Запишем:
\[E_{1\tau }=E_1sin{\alpha }_1,E_{2\tau }=E_2sin{\alpha }_2\to E_1sin{\alpha }_1=E_2sin{\alpha }_2\left(2.2\right),\]$E_1$-напряженность поля в первом проводнике, $E_2$ -- напряжённость поля во втором проводнике. Из закона Ома для плотности токов можно записать:
\[j_n=\lambda Ecos\alpha \left(2.3\right),\]где для стационарных токов $j_n=const$, следовательно можно записать:
\[{\lambda }_1E_1cos{\alpha }_1={\lambda }_2E_2cos{\alpha }_2\left(2.4\right).\]Разделим выражение (2.2) на (2.4), получим:
\[\frac{E_1sin{\alpha }_1}{{\lambda }_1E_1cos{\alpha }_1}=\frac{E_2sin{\alpha }_2}{{\lambda }_2E_2cos{\alpha }_2}\to \frac{tg{\alpha }_1}{{\lambda }_1}=\frac{tg{\alpha }_2}{{\lambda }_2}\to \frac{tg{\alpha }_2}{tg{\alpha }_1}=\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}.\]Что и требовалось доказать.
