Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Уравнение движения материальной точки

Система отсчета. Системы координат

Под движением материальной точки в пространстве понимают изменение ее положения относительно некоторых тел с течением времени. В связи с этим можно говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Сами по себе точки пустого пространства неразличимы между собой, поэтому говорить о той или иной точке пространства можно, если в ней находится материальная точка. Ее положение и определяется относительно тела отсчета с помощью измерений, для чего с телом (телами) отсчета жестко связывается некоторая система координат; в ней и измеряются пространственные координаты. Например, на поверхности Земли это географическая широта и долгота точки.

В теоретических рассуждениях часто наиболее удобна декартова прямоугольная система координат, в которой положение точки определяется радиус-вектором ¯r с тремя проекциями x,y,z -- координатами точки. Но возможно и использование других систем координат, например:

  • сферической, где положение точки и ее радиус-вектор определены координатами r,ϑ,φ;
  • цилиндрической: с координатами p,z,α;
  • на плоскости - полярной: r,φ.

В теоретических рассуждениях часто не принимают во внимание реальную систему отсчета, сохраняя только систему координат, которая и служит математической моделью системы отсчета, применяемой при измерениях на практике.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Итак, в любой системе отсчета и системе координат имеется возможность определить координаты материальной точки в любой момент времени.

Если положение материальной точки в каждый момент времени определено в данной системе отсчета, то движение ее задано или описано.

Это задание достигается в виде кинематического уравнения движения:

¯r=¯r(t) (1)

Аналитически положение точки всегда определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Этот факт выражают словами: свободная точка имеет три степени свободы движения.

«Уравнение движения материальной точки» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Движение точки согласно уравнению (1) полностью определено, если указано ее положение в любой момент времени t. Для этого достаточно задать декартовы координаты точки как однозначные и непрерывные функции времени:

x(t)=x, y(t)=y, z(t)=z. (2)

Прямоугольные декартовы координаты x,y,z являются проекциями радиус-вектора ¯r, проведенного в точку из начала координат, т.е.:

Длина и направление вектора ¯rнаходятся из известных соотношений:

Здесь, α,β,γ - углы, образованные радиус-вектором с координатными осями.

Равенства (2) являются кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах. Но уравнения могут быть записаны в любой другой системе координат, связанной с декартовой взаимно однозначным преобразованием. При движении точки в плоскости Оху часто бывает удобно пользоваться полярными коордиинатами r,φ, связанными с декартовыми преобразованием:

В этом случае кинематические уравнения движения точки имеют следующий общий вид:

r=r(t),φ=φ(t). (3)

В криволинейных координатах q1,q2,q3 связанных с декартовыми преобразованием:

x=x(q1,q2,q3), y=y(q1,q2,q3), z=z(q1,q2,q3), (4)

кинематические уравнения движения точки запишутся так:

q1=q1(t),q2=q2(t),q3=q3(t). (5)

(Это могут быть сферические, цилиндрические и другие координаты).

Годограф радиус-вектора точки, т.е. кривая, описываемая концом вектора ¯rпри движении точки, совпадает с траекторией движения этой точки. Уравнение траектории в параметрической форме, когда параметром служит время t, дано кинематическими уравнениями движения (2), (5). Для получения уравнения траектории в координатной форме достаточно исключить из кинематических уравнений время.

Движение точки может быть определено по-другому: заданием траектории и мгновенным положением точки на ней. Положение точки на кривой определяется указанием только одной величины -- расстояния, измеряемого вдоль кривой от некоторой начальной точки. При этом должно быть указано положительное направление кривой. Тогда мгновенное положение точки на заданной кривой определяется функцией:

Это уравнение является уравнением движения точки по траектории. Такой способ задания движения называется естественным или траекторным.

Координатный и естественный способы задания движения точки физически (в смысле фиксации ее положения в пространстве)

эквивалентны. Что же касается математической стороны дела, то в одних задачах оказывается проще применение координатного, а в другом -- естественного метода.

Закон движения точки по траектории может быть задан аналитически, графически или в виде таблицы. Оба последних способа широко применяются на транспорте (например, графики и расписания движения поездов).

Пример 1

Уравнение движения материальной точки имеет вид x=0,4t2. Написать формулу зависимости vx(t) и построить график зависимости скорости точки от времени. Показать на графике площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, и вычислить этот путь. \end{enumerate}

Дано: x=0,4t2, t=4с.

Найти: vx(t), S-?

Решение: Зависимость скорости от времени имеет вид:

vx=v0x+axt.

Запишем уравнение зависимости координаты от времени и сравним его с данным:

x=x0+v0xt+axt22,x=0,4t2.

Из сравнения видно, что x0=0, v0x=0, ax=0,8м/с2.

Подставим полученные данные в уравнение скорости и получим:

vx=0,8t.

Определим точки и построим график:

vx=0,t=0;vx=4,t=5.



Рисунок 1.

Путь, пройденный телом, численно равный площади фигуры, ограниченной графиком и может быть найден по следующей формуле:

S=0,4t2=6,4м.

Ответ: S=6,4 м.

Дата последнего обновления статьи: 01.07.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Уравнение движения материальной точки"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant