Интегральная форма теоремы об изменении количества движения
Теорему об изменении количества движения можно записать также в интегральной (конечной) форме. Пусть в начале и конце некоторого рассматриваемого интервала времени $t1,t2$ количество движения равно соответственно ¯Q1,¯Q2. Домножим обе части равенства на dt и проинтегрируем на этом интервале:
Произведение вектора силы на бесконечно малый промежуток времени ее действия ¯Fkdt называется элементарным импульсом силы ¯Fk.
Интеграл от элементарного импульса на интервале времени $t1,t2$:
называется импульсом (полным импульсом) силы ¯Fk на этом интервале. С использованием этого понятия теорема запишется в виде:
и читается так:
изменение количества движения механической системы за некоторый (конечный) промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени. Теорема в такой форме применяется при изучении удара твердых тел.
Подставим в равенство:
выражающее теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме, формулу:
служащую для вычисления количества движения, и расшифруем обозначение ¯Re. В результате придем к равенству:
в точности совпадающему с математическим выражением теоремы о движении центра масс. Откуда следует, что теоремы об изменении количества движения системы и о движении~центра масс вполне тождественны.
Однако по способу выражения общего объективного содержания эти теоремы настолько отличаются, что считаются вполне самостоятельными теоремами динамики. Каждая из теорем имеет свою преимущественную область применения:
- теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме применяется в механике сплошной среды;
- в интегральной форме - в теории удара твердых тел;
- теорема о движении центра масс применяется в динамике твердого тела и системы твердых тел.
Космический корабль двигался с постоянной по величине скоростью v. Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью vотн относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол α, на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его m0, а конечная m.
Дано: v, vотн, m0, m.
Найти: α-?
Решение:
Ускорение корабля по абсолютной величине равно:
a=ω2r=ωv, причем v=const. Поэтому уравнение движения:
mdvdt=vотнdmdt переходит в: mvωdt=−vотнdm.
Так как dα=ωdt есть угол поворота за время dt, интегрируя наше уравнение, получим:
α=vотнvlnm0m.Ответ: угол поворота вектора скорости равен: α=vотнvlnm0m
Ракета перед стартом имеет массу m0=250кг. На какой высоте окажется ракета через t=20с после начала работы двигателей? Расход топлива равен μ=4кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты vотн=1500м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.
Дано: m0=250кг, t=20с, μ=4кг/с, vотн=1500м/с.
Найти: H-?
Решение:
Рисунок 1.
Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:
mΔv0Δt=μvотн−mg,где m=m0−μt, а v0- скорость ракеты в момент времени t. Разделяя переменные получаем:
Δv0=(μvотнm0−μt−g)ΔtРешение данного уравнения, удовлетворяющего начальному условию v0=0при t=0, имеет вид:
v0=vотнlnm0m0−μt−gtУчитывая что H0=0при t=0 получим:
H=vотнt−gt22+vотнm0μ(1−μtm0)ln(1−μtm0).Подставляя начальные значения, получаем:
H=vотнt−gt22+vотнm0μ(1−μtm0)ln(1−μtm0)=3177,5м
Ответ: через 20c ракета окажется на высоте H=3177,5м.