Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Интегральная форма основного закона динамики

Интегральная форма теоремы об изменении количества движения

Теорему об изменении количества движения можно записать также в интегральной (конечной) форме. Пусть в начале и конце некоторого рассматриваемого интервала времени $t1,t2$ количество движения равно соответственно ¯Q1,¯Q2. Домножим обе части равенства на dt и проинтегрируем на этом интервале:

Определение 1

Произведение вектора силы на бесконечно малый промежуток времени ее действия ¯Fkdt называется элементарным импульсом силы ¯Fk.

Интеграл от элементарного импульса на интервале времени $t1,t2$:

называется импульсом (полным импульсом) силы ¯Fk на этом интервале. С использованием этого понятия теорема запишется в виде:

и читается так:

изменение количества движения механической системы за некоторый (конечный) промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени. Теорема в такой форме применяется при изучении удара твердых тел.

Подставим в равенство:

выражающее теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме, формулу:

служащую для вычисления количества движения, и расшифруем обозначение ¯Re. В результате придем к равенству:

в точности совпадающему с математическим выражением теоремы о движении центра масс. Откуда следует, что теоремы об изменении количества движения системы и о движении~центра масс вполне тождественны.

Однако по способу выражения общего объективного содержания эти теоремы настолько отличаются, что считаются вполне самостоятельными теоремами динамики. Каждая из теорем имеет свою преимущественную область применения:

  • теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме применяется в механике сплошной среды;
  • в интегральной форме - в теории удара твердых тел;
  • теорема о движении центра масс применяется в динамике твердого тела и системы твердых тел.
«Интегральная форма основного закона динамики» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Пример 1

Космический корабль двигался с постоянной по величине скоростью v. Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью vотн относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол α, на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его m0, а конечная m.

Дано: v, vотн, m0, m.

Найти: α-?

Решение:

Ускорение корабля по абсолютной величине равно:

a=ω2r=ωv, причем v=const. Поэтому уравнение движения:

mdvdt=vотнdmdt переходит в: mvωdt=vотнdm.

Так как dα=ωdt есть угол поворота за время dt, интегрируя наше уравнение, получим:

α=vотнvlnm0m.

Ответ: угол поворота вектора скорости равен: α=vотнvlnm0m

Пример 2

Ракета перед стартом имеет массу m0=250кг. На какой высоте окажется ракета через t=20с после начала работы двигателей? Расход топлива равен μ=4кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты vотн=1500м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.

Дано: m0=250кг, t=20с, μ=4кг/с, vотн=1500м/с.

Найти: H-?

Решение:



Рисунок 1.

Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:

mΔv0Δt=μvотнmg,

где m=m0μt, а v0- скорость ракеты в момент времени t. Разделяя переменные получаем:

Δv0=(μvотнm0μtg)Δt

Решение данного уравнения, удовлетворяющего начальному условию v0=0при t=0, имеет вид:

v0=vотнlnm0m0μtgt

Учитывая что H0=0при t=0 получим:

H=vотнtgt22+vотнm0μ(1μtm0)ln(1μtm0).

Подставляя начальные значения, получаем:

H=vотнtgt22+vотнm0μ(1μtm0)ln(1μtm0)=3177,5м

Ответ: через 20c ракета окажется на высоте H=3177,5м.

Дата последнего обновления статьи: 01.07.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Интегральная форма основного закона динамики"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant