Колебаниям математический маятника - тела с точечной массой, подвешенного на упругой нити - свойственен изохронизм. Это значит, что их частота не зависит от амплитуды и массы подвешенного тела. Такая система обладает свойствами гармонического осциллятора - устройства, график движения тела, в котором представляет собой синусоиду.
Функция, описывающая гармонические колебания:
$\varphi (t) = \varphi_0 \cdot cos(\omega_0 + \alpha)$, где:
- $ \alpha$- начальная фаза колебаний,
- $\varphi_0$ - их амплитуда,
- $\omega_0$ - циклическая частота.
Циклическая частота связана с длиной подвеса математического маятника зависимостью:
$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$,
где $g$ - ускорение свободного падения, $l$ - длина нити.
Эта зависимость получается исходя из того, что при малых отклонениях от вертикали касательную (тангенциальную) составляющую силы, тянущей маятник по дуге, можно найти как сумму векторов силы упругости нити (направлена от тела к центру вращения вдоль нити) и силы тяжести (направлена вертикально вниз). Ускорение, создаваемое касательной силой, относится к ускорению свободного падения в следующем соотношении:
$a = g \cdot \frac{x}{l}$,
где $l$ - длина нити, $x$ - модуль касательной силы.
Поскольку же уравнение колебательного движения выглядит как
$a = - \omega_0^2 \cdot x$,
где $\omega_0$ - частота циклических колебаний, можно подставить в формулу для нахождения периода колебаний полученное соотношение:
$T = \frac{2\pi}{\omega_0}; \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} \implies T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$
Частоту можно найти как величину, обратную периоду.
$f = \frac{1}{T}$
Найти частоту колебаний маятника с длиной подвеса 1 м.
$T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{1}{9,8}} \approx 2 с$.
$f = \frac{1}{2} = 0,5$
Ответ: 0,5 колебаний в секунду.
