Математические методы в проектировании изделий электроники

Принципы математического моделирования (проектирования)

К основным принципам математического моделирования можно отнести:

1. Адекватность. Данный принцип подразумевает соответствие готовой модели целям исследования по уровням организации и сложности, а также ее соответствие реальной системе относительно выбранных свойств.
2. Соответствие готовой модели решаемой задачи. Данный принцип подразумевает то, что построение модели должно осуществляться с целью решения конкретных задач. Аспекты и свойства готовых моделей одного и того же объекта могут быть разными, в зависимости от особенностей поставленной задачи.
3. Упрощение при сохранении свойств готовой модели. Данный принцип подразумевает, что готовая модель должна быть гораздо проще прототипа. Этот принцип также называется принципом абстрагирования от второстепенных деталей.
4. Соответствие между сложностью модели и требуемой точностью результатов. Данный принцип подразумевает, что готовая модель объекта не должна быть слишком сложной, что способствует увеличению трудности решения. Компромисс между этими параметрами достигается за счет метода проб и ошибок. Уменьшение сложности готово модели может достигаться за счет изменения количества переменных, изменения природы переменных параметров, изменения функциональной зависимости между переменными, изменения ограничений, ограничение точности готовой модели.
5. Баланс погрешностей разного вида. Данный принцип подразумевает, что баланс погрешностей достигается за счет отклонения модели от прототипа.
6. Многовариантность. Данный принцип подразумевает, что баланс между точностью и сложностью может быть достигнут за счет разнообразия реализаций.
7. Блочное строение. Данный принцип основан на выделении блоков с учетом разделения модели по режимам и этапам функционирования рассматриваемой системы.

Математическое моделирование ведется на всех этапах жизненного цикла электронного изделия - технологическое моделирование, физико-топологическое моделирование, схемотехническое моделирование, моделирование в рамках малой и большой моделей.

Математические методы, применяемые при проектировании электронных изделий

Самыми распространенными математическими методами, применяемыми при проектировании электронного изделия являются:

1. Аналитические методы.
2. Численные методы.

Аналитические методы дают наглядное представление о воздействии параметров на характеристики системы, в данном случае электронного изделия. Их главный недостаток заключается в сложности математического описания - задании граничных условий или определении формы воздействия.

Конструкции современных электронных изделий представляют собой сложные системы с огромным количеством связей. Для такой системы процесс построения расчетной модели довольно затруднителен. В данных системах могут содержаться неконтролируемые параметры, что тоже является причиной возникновения множества математических трудностей. Основными математическими методами при проектировании электронного изделия являются метод конечных разностей и метод конечных элементов.

Метод конечных разностей заключается в решении дифференциальных уравнений и основывается на замене производных разностными схемами. Для расчета системы строится простая модель - сетка, примеры которых изображены на рисунке ниже.

Рисунок 1. Модель – сетка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В таких моделях составляющие системы с непрерывными распределенными параметрами заменяются на набор дискретных элементов, обладающих сосредоточенными параметрами. Расчет модели начинается с решения конечно-разностных уравнений. Эти уравнения образуются из дифференциальных при помощи замены их обычных и частных производных отношениями конечных приращений переменных.

При использовании метода конечных элементов исходная область определения функции разбивается сеткой на конечные элементы (пример изображен на рисунке ниже).

Рисунок 2. Метод конечных элементов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Искомая непрерывная функция заменяется на кусочно-непрерывную, которая определена для множества конечных элементов, обычно для этого используются полиномы. В случае с одномерными функциями конечные элементы - отрезки прямой, для двухмерных, как правило, - треугольники. Алгоритм метода выглядит следующим образом:

1. Разбиение области на конечные элементы.
2. Выбор аппроксимирующей функции для каждого элемента.
3. Объединение полиномиальных функций в систему уравнений.
4. Решение системы уравнений.

Данный метод позволяет построить удобную схему образования уравнений относительно узловых значений функции. Еще одно преимущество метода конечных элементов заключается в том, что в одном уравнении системы содержится небольшая часть узловых неизвестных. Данный метод также применим для решения дискретных или континуальных задач.