Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Основание метода Монте-Карло

Определение 1

Метод Монте-Карло – это метод моделирования случайных величин для определения характеристик их распределения.

Сущность метода Монте-Карло

Метод статистического моделирования на ЭВМ является основным методом получения результатов при помощи имитационных моделей стохастических систем, которые используются как теоретическая база предельной теоремы теории вероятностей. Основу составляет метод Монте-Карло.

Метод Монте-Карло был предложен в 1940-х годах Дж. Фон Нейманом и относится к моделированию процессов посредством генератора случайных величин.

Идея использования случайных явлений в сфере приближенных вычислений возникла в 1878 году вместе с появлением работы Холла, содержащей метод определения чисел p при помощи случайных бросков иглы на разграфленную бумагу параллельными линиями. Вся суть заключалась в экспериментальном воспроизведении события, вероятность которого выражалась через p, и приближенной оценке этой вероятности.

Поначалу метод Монте-Карло использовался для решения задач в нейронной физике, поскольку традиционные методы вычислений были мало пригодны. Затем влияние метода распространилось на задачи статистической физики, которые были различными по своему содержанию. На сегодняшний день в большей степени метод Монте-Карло используется в таких разделах науки, как:

  • Теория массового обслуживания;
  • Теория игр и математическая экономика;
  • Теория передачи сообщений при помехах и т.д.

Описываемый метод оказывает большое влияние на развитие методов вычислительной математики, а при решении задач сочетается и с другими методами вычислений. Применение метода оправдано в задачах, допускающих теоретико-вероятностное описание

Применение метода Монте-Карло в практической деятельности

Использование метода Монте-Карло характерно для анализа систем. С его помощью можно получить приближенное решение задач на основе эксперимента со случайными числами. Например, необходимо определить вероятность выигрыша в некоторой карточной игре. Объем вычислений методом прямого расчета будет достаточно большим. Также игру можно провести N раз, а затем подсчитать количество выигрышей n и определить вероятность равную отношению n/N. Такой способ может привести к ошибкам, но их величина будет снижаться вместе с увеличением количества партий. Чтобы ускорить расчеты, игра может быть смоделирована на ЭВМ. Однако для получения точного ответа число испытаний может быть велико при медленном уменьшении величины ошибок. В связи с этим разумнее будет сочетать анализ со случайными испытаниями. В этом заключает сущность метода Монте-Карло.

«Основание метода Монте-Карло» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Метод Монте-Карло – это развитие применяемых в статистике методов выборочного испытания. Отличие его состоит в том, что цель использования данного метода заключается в нахождении ответа на математические задачи и все испытания проводятся в абстрактных ситуациях, а не пользуются результатами реальных исследований. Абстракция, позволившая менять объект изучения, дала возможность усовершенствовать метод.

Ряд проблем, возникших при создании атомного оружия во время второй мировой войны, был разрешен с помощью метода Монте-Карло. Задача состояла в том, чтобы вычислить количество нейтронов, проникающих через оболочку конструкции, при том, что данное число могло изменяться не только случайно, но и закономерно. Посредством метода Монте-Карло воспроизводилась на вычислительной машине математическая модель реальной ситуации и прослеживался путь атомных частиц с использованием случайных чисел. Изучая реальные проблемы диффузии атомных частиц через экран ядерного реактора, ученые по необходимости моделировали реальные физические процессы. Они не интересовались самими моделями, а изучали реальные процессы, которые не могли воспроизвести в жизни. Важной особенностью метода являлась возможность изменения модели или же ее параметров с целью сокращения стоимости расчетов посредством уменьшения количества выборок. Данные математические приемы стали называть средствами снижения числа вариаций. В связи с этим в настоящее время часто утверждают, что выборочные расчеты не будут методом Монте-Карло до тех пор, пока не используются средства снижения числа вариаций.

Замечание 1

Широкое применение метода в исследовании операций объясняется тем, что это самый простой из всех вычислительных методов, которые пригодны для решения больших проблем, характерных для данной науки.

Пример метода

Рассмотрим численный пример метода Монте-Карло: a=0;b=π/2;g(x)=cos(x).

Определим значение интеграла с использованием двух случайных величин.

В первом варианте будет использована равномерно распределенная случайная величина на [a,b], т.е. pe(x)=2/π.

Во втором варианте будет использована случайная величина с линейной плотностью на [a,b], т.е. pe(x)=4/π(12x/π).

На рисунке 1 представлен график названных выше функций.

График функций. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. График функций. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Нетрудно заметить, что линейная плотность в большей степени соответствует функции g(x).

Несложно вычислить точное значение интеграла, оно будет равняться 1.

При N=10 результаты одного моделирования будут следующими:

Для равномерно распределенной величины I1.21666, а для случайной величины с линейным распределением I0.97641.

В первом случае относительная погрешность будет равняться 21%, во втором же 2,35%.

Данный пример модели показывает всю важность определения случайной величины для метода Монте-Карло. Если случайна величина была выбрана правильно, то вычисления будут иметь более высокую точность при меньшем количестве интеграций.

Замечание 2

При том, что метод Монте-Карло – это средство численного анализа, исследование с его помощью физических процессов позволяет установить их характерные особенности, дающие возможность создать удовлетворительные аналитические модели тех или иных процессов.

Дата последнего обновления статьи: 17.07.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Основание метода Монте-Карло"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant