Основание метода Монте-Карло

Сущность метода Монте-Карло

Метод статистического моделирования на ЭВМ является основным методом получения результатов при помощи имитационных моделей стохастических систем, которые используются как теоретическая база предельной теоремы теории вероятностей. Основу составляет метод Монте-Карло.

Метод Монте-Карло был предложен в 1940-х годах Дж. Фон Нейманом и относится к моделированию процессов посредством генератора случайных величин.

Идея использования случайных явлений в сфере приближенных вычислений возникла в 1878 году вместе с появлением работы Холла, содержащей метод определения чисел p при помощи случайных бросков иглы на разграфленную бумагу параллельными линиями. Вся суть заключалась в экспериментальном воспроизведении события, вероятность которого выражалась через p, и приближенной оценке этой вероятности.

Поначалу метод Монте-Карло использовался для решения задач в нейронной физике, поскольку традиционные методы вычислений были мало пригодны. Затем влияние метода распространилось на задачи статистической физики, которые были различными по своему содержанию. На сегодняшний день в большей степени метод Монте-Карло используется в таких разделах науки, как:

• Теория массового обслуживания;
• Теория игр и математическая экономика;
• Теория передачи сообщений при помехах и т.д.

Описываемый метод оказывает большое влияние на развитие методов вычислительной математики, а при решении задач сочетается и с другими методами вычислений. Применение метода оправдано в задачах, допускающих теоретико-вероятностное описание

Применение метода Монте-Карло в практической деятельности

Использование метода Монте-Карло характерно для анализа систем. С его помощью можно получить приближенное решение задач на основе эксперимента со случайными числами. Например, необходимо определить вероятность выигрыша в некоторой карточной игре. Объем вычислений методом прямого расчета будет достаточно большим. Также игру можно провести N раз, а затем подсчитать количество выигрышей n и определить вероятность равную отношению n/N. Такой способ может привести к ошибкам, но их величина будет снижаться вместе с увеличением количества партий. Чтобы ускорить расчеты, игра может быть смоделирована на ЭВМ. Однако для получения точного ответа число испытаний может быть велико при медленном уменьшении величины ошибок. В связи с этим разумнее будет сочетать анализ со случайными испытаниями. В этом заключает сущность метода Монте-Карло.

Метод Монте-Карло – это развитие применяемых в статистике методов выборочного испытания. Отличие его состоит в том, что цель использования данного метода заключается в нахождении ответа на математические задачи и все испытания проводятся в абстрактных ситуациях, а не пользуются результатами реальных исследований. Абстракция, позволившая менять объект изучения, дала возможность усовершенствовать метод.

Ряд проблем, возникших при создании атомного оружия во время второй мировой войны, был разрешен с помощью метода Монте-Карло. Задача состояла в том, чтобы вычислить количество нейтронов, проникающих через оболочку конструкции, при том, что данное число могло изменяться не только случайно, но и закономерно. Посредством метода Монте-Карло воспроизводилась на вычислительной машине математическая модель реальной ситуации и прослеживался путь атомных частиц с использованием случайных чисел. Изучая реальные проблемы диффузии атомных частиц через экран ядерного реактора, ученые по необходимости моделировали реальные физические процессы. Они не интересовались самими моделями, а изучали реальные процессы, которые не могли воспроизвести в жизни. Важной особенностью метода являлась возможность изменения модели или же ее параметров с целью сокращения стоимости расчетов посредством уменьшения количества выборок. Данные математические приемы стали называть средствами снижения числа вариаций. В связи с этим в настоящее время часто утверждают, что выборочные расчеты не будут методом Монте-Карло до тех пор, пока не используются средства снижения числа вариаций.

Пример метода

Рассмотрим численный пример метода Монте-Карло: $a = 0; b = π / 2; g(x) = cos(x)$.

Определим значение интеграла с использованием двух случайных величин.

В первом варианте будет использована равномерно распределенная случайная величина на $[a, b]$, т.е. $pe (x) = 2 / π$.

Во втором варианте будет использована случайная величина с линейной плотностью на $[a, b]$, т.е. $pe (x) = 4 / π • (1 – 2x / π)$.

На рисунке 1 представлен график названных выше функций.

Рисунок 1. График функций. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Нетрудно заметить, что линейная плотность в большей степени соответствует функции $g(x$).

Несложно вычислить точное значение интеграла, оно будет равняться 1.

При $N = 10$ результаты одного моделирования будут следующими:

Для равномерно распределенной величины $I ≈ 1.21666$, а для случайной величины с линейным распределением $I ≈ 0.97641$.

В первом случае относительная погрешность будет равняться 21%, во втором же 2,35%.

Данный пример модели показывает всю важность определения случайной величины для метода Монте-Карло. Если случайна величина была выбрана правильно, то вычисления будут иметь более высокую точность при меньшем количестве интеграций.