Ниже приведена краткая справка о том, что такое скалярное произведение, а также добавлены калькуляторы для определения скалярного произведения векторов онлайн.
Скалярное произведение векторов — это произведение длин векторов (то есть, модулей векторов) на косинус угла между ними.
Для того чтобы найти скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в координатах, необходимо сложить произведения соответствующих координат.
Ниже приведены онлайн-калькуляторы для расчёта скалярного произведения векторов на плоскости и в пространстве.
Чтобы воспользоваться ими, введите координаты векторов в соответствующие поля для ввода. Переключаться между пустыми графами можно с помощью клавиши Tab.
Скалярное произведение векторов на плоскости
Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ на плоскости рассчитывается по формуле:
$[\vec{a} \cdot \vec{b}] = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$, где
$x_1, y_1$ — координаты вектора $\vec{a}$;
$x_2, y_2$ — координаты вектора $\vec{b}$.
Рассмотрим пример нахождения скалярного произведения векторов на плоскости.
Задача
Даны векторы $\vec{a}$ с координатами $\{3; 4\}$ и вектор $\vec{b}$ с координатами $\{7; 9\}$. Чему равно их скалярное произведение?
Решение:
Воспользуемся формулой нахождения скалярного произведения векторов через координаты:
$[\vec{a} \cdot \vec{b}] = 3 \cdot 7 + 4 \cdot 9 = 57$.
Сравним полученный ответ с ответом онлайн-калькулятора. Результаты совпадают, а значит, решение найдено верно.
Также рассмотрим, как найти скалярное произведение векторов в пространстве.
Скалярное произведение векторов в пространстве
В пространстве расчёт скалярного произведения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ производится аналогичным образом:
$[\vec{a} \cdot \vec{b}] = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2$, где
$x_1, y_1, z_1$ — координаты вектора $\vec{a}$;
$x_2, y_2, z_2$ — координаты вектора $\vec{b}$.
Решим пример с использованием данной формулы.
Задача
Вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют координаты $\{8; 2; 6\}$ и $\{7; 2; 5\}$ соответственно. Найдите, чему равно их скалярное произведение.
Решение:
Сложим произведения соответствующих координат для нахождения скалярного произведения:
$[\vec{a} \cdot \vec{b}] = 8 \cdot 7 + 2 \cdot 2 + 6 \cdot 5 = 90$
Проверка с помощью онлайн-калькулятора подтверждает правильность найденного решения.
