На данной странице представлены формулы и онлайн-калькуляторы для нахождения объёма различных видов пирамид: правильной треугольной, четырёхугольной, правильного тетраэдра, а также для правильной пирамиды, в основании которой лежит многоугольник.
Для того чтобы воспользоваться онлайн-калькулятором, введите известные вам данные в поля для ввода.
Начнём с тетраэдра. Тетраэдром называют любую треугольную пирамиду.
Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, все грани которой являются правильными треугольниками, а стороны равны между собой.
Объём правильного тетраэдра
Расчёт объёма правильного тетраэдра осуществляется по формуле:
$V = \frac{b^3 \cdot \sqrt2}{12}$, где
$b$ — длина стороны тетраэдра.
Дано:
Сторона $b$ правильного тетраэдра равна $3$ см. Рассчитайте, чему равен объём этой треугольной пирамиды.
Решение:
$V = \frac{3^3 \cdot \sqrt2}{12} =\frac{3^2 \cdot \sqrt2}{4} ≈ 3.18$.
Ответ:
Объём составит $3.18$ кубических сантиметров.
Перейдём к более общему случаю вычисления объёма правильной треугольной пирамиды.
Правильной треугольной пирамидой называют пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а все остальные грани являются равнобедренными треугольниками.
Объём правильной треугольной пирамиды
Расчёт объёма правильной треугольной пирамиды осуществляется по формуле:
$V = \frac{h \cdot b^2 }{4 \cdot \sqrt3}$, где
$h$ — высота правильной треугольной пирамиды;
$b$ — сторона её основания.
Следующий вид пирамиды — правильная четырехугольная пирамида.
В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, а грани её также являются равнобедренными треугольниками.
Объём правильной четырехугольной пирамиды
Расчёт объёма правильной четырёхугольной пирамиды можно осуществить по формуле:
$V = \frac13 \cdot h \cdot b^2$, где
$h$ — высота правильной четырёхугольной пирамиды;
$b$ — сторона её основания.
Дано:
Высота $h$ правильной четырёхугольной пирамиды равна $7$ см, а сторона её основания $b$ — $6$ см. Рассчитайте, чему равен объем этой четырехугольной пирамиды, используя приведённую формулу.
Решение:
$V = \frac13 \cdot 7 \cdot 6^2 = 84$.
Ответ:
Объём пирамиды составит $84$ кубических сантиметров.
Также рассмотрим общий случай правильной пирамиды.
Правильной пирамидой называют такую пирамиду, в основании которой лежит правильный многоугольник, все стороны которого равны, а количество его сторон равно n.
Объём правильной пирамиды с многоугольником в основании
Расчёт объёма правильной пирамиды, в основании которой лежит многоугольник с $n$-гранями, осуществляется по формуле:
$V = \frac13 \cdot S \cdot h$, где
$S$ — площадь многоугольника;
$h$ — высота пирамиды.
При этом площадь многоугольника можно узнать по формуле:
$S = \large \frac{n \cdot b^2}{4 \cdot \mathrm{tg}(\frac{360}{2 \cdot n})}$, где
$b$ — сторона многоугольника в основании;
$n$ — количество граней многоугольника в основании.
Подставим формулу площади в формулу для вычисления объёма пирамиды и получим:
$V = \large \frac{n \cdot b^2 \cdot h} {12 \cdot \mathrm{tg}(\frac{180}{n})}$
