Линейные системы управления
Линейные системы управления – это системы, которые подчиняются принципу суперпозиции, заключающемся в том, что реакция объекта управления на сумму входных сигналов равняется сумме реакций на каждый сигнал в отдельности.
Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями, в которых функция и все ее производные содержатся в первой степени. Линейность статических характеристик является необходимым условием, но при этом недостаточным для линейности системы.
Большинство реальных объектов являются нелинейными. Однако, если нелинейность проявляется в статическом режиме, статические характеристики описываются аналитическими функциями, то при определенных условиях нелинейные характеристики могут быть могут быть заменены приближенными линейными характеристиками, то есть осуществляется линеаризация нелинейных зависимостей. Самым распространенными способом линеаризации является разложение нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки и переход к новой системе координат, причем, в данном случае линеаризация содержит только первые члены ряда Тейлора, линейные относительно новых координат. Линейные объекты описываются обычными дифференциальными уравнениями, в общем случае записываемые в виде полинома производных во времени от входа и выхода объекта.
Нелинейные системы управления и их отличия от линейных систем
Нелинейная система – это система, в состав которой входит минимум одно звено, описываемое нелинейным уравнением и называемое нелинейным элементом.
Уравнение нелинейно, если его координаты или их производные по времени входят в составляемое уравнение в виде произведений или степени, которая отлична от первой, а также в том случае, если коэффициенты уравнения представляют собой функции некоторых координат или их производных. При составлении дифференциальных уравнений для нелинейных систем сначала они составляются для каждого элемента системы (устройства), при этом характеристики устройств, которые допускают линеаризацию, линеаризуются. В результате этого получается система дифференциальных уравнений, где одно или несколько уравнений нелинейны. Устройства, которые допускают линеаризацию - образуют линейную часть уравнения, а устройства, не линеаризованные, составляют нелинейную часть.
Нелинейные элементы классифицируются по разным признакам. Самой распространенной классификацией является классификация по динамическим и статическим характеристикам, потому что в системах, как правило, нелинейности приходится учитывать в виде характеристик. Данные характеристики могут быть однозначными или двузначными, симметричными или несимметричными относительно начала координат. Различают следующие типы нелинейных звеньев:
- Нелинейные звенья с гладкими криволинейными характеристиками.
- Нелинейные звенья с кусочно-линейными характеристиками.
- Релейные звенья, в которые на выходе выдают конечное число фиксированных значений.
- Нелинейные вычислительные звенья, к которым относятся логическое, множительное и другие виды звеньев.
Нелинейности могут быть статическими и динамическими. Статические представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые в виде нелинейных дифференциальных уравнений. Поведение нелинейных систем в случае наличия значительных нелинейностей существенно отличается от поведения их линейных моделей:
- Выходная величина нелинейной системы управления непропорционально воздействию на вход; форма реакции систем зависит от величины воздействия на входе.
- Характер процессов в нелинейной системе зависит от начального отклонения, которое вызвано возмущением.
- Для нелинейной системы управления характерен режиме незатухающих периодических колебаний с постоянными частотой и амплитудой, который возникает в результате отсутствия в системе внешних периодических воздействий.
- В случае затухающих колебаний переходного процесса в нелинейной системе происходит изменение периода колебаний.
Существуют три основных задачи исследования нелинейной системы:
- Исследование переходных процессов системы к тому или иному установившемуся состоянию в случае различных начальных отклонений.
- Отыскание возможных состояний равновесия системы, а также исследование их устойчивости.
- Определение автоматических колебаний и анализ их устойчивости.
- Все методы исследования нелинейной системы делятся на приближенные и точные. К точным относятся метод фазовой плоскости, метод Ляпунова, метод Попова, а также метод точечных преобразований, а к приближенным относятся метод гармонической линеаризации и метод статической линеаризации, которые основаны на линеаризации нелинейного уравнения.
