Рассмотрим страхование по дожитию лица в возрастном показателе $X$ лет на срок $L$ лет с суммой страхования $S$ руб.
Определение взаимности обязательств сторон
Финансовые обязательства страхователя заключаются в оплате единовременной премии по страхованию на момент заключения страхового договора.
Так как мы рассматриваем строение нетто-ставок, то у нас есть интерес в отношении нетто-премии по страховому договору, которая равняется произведению страховой суммы на нетто-ставку страхования по дожитию лица в возрастном диапазоне $X$ лет на время $L$ лет, которую в математике принято обозначать $V$. Таким образом, величина финансовых обязательств страхователя по факту равняется $X-V$ (руб.).
Страховщик обязан выплачивать застрахованному лицу через $X$ лет страховую сумму $S$ при условии, что он доживает до завершения срока страхования''. Следовательно, объем финансовых обязательств страховщика образует $S$ руб.
Определение вероятной современной стоимости обязательств сторон
Страхователь безусловно должен оплатить страховую премию, в противном случае страховой договор не состоится. По-другому говоря, объемы уплаченных страхователем взносов не носят случайным характером. Следовательно, вероятностная стоимость обязательств страхователя равняется их стоимости по факту. Помимо этого, так как единовременный взнос оплачивается во время заключения договора, то его современная цена равняется стоимости, являющейся фактической. При одновременном порядке оплаты премии страхования современная вероятностная стоимость обязательств страхователя равняется фактическому объему одновременного взноса.
Страховщик будет выплачивать страховую сумму лишь при условии, что застрахованное лицо дожило до завершения срока страхования. В связи с этим вероятностная стоимость обязательств страховщика (математическое ожидание такой случайной величины) равняется произведению стоимости выплат по факту ($S$) на вероятность ее реализации, то есть, где является вероятностью по дожитию лица в возрасте $X$ лет до завершения срока $L$ лет.
Так как выплата (если она произойдет вообще) будет осуществлена через $L$ лет, то ее современная вероятностная стоимость будет равняться произведению вероятной стоимости на дисконтный множитель за $X$ лет. где $S$ является дисконтирующим коэффициентом за 7 лет.
Применение принципа равенства
Равенство вероятных современных стоимостей обязательств страховщика и страхователя в нашем примере запишется следующим образом:
Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В том, что может касаться обязательств страхователя, рассуждения будут являться аналогичными тем, что приводятся в предыдущем примере. Стоимость обязательств страхователя по факту равняется по объему единовременной премии по страхованию на наступления случай смерти, то есть $S$, где $A$ является единовременной нетто-ставкой по страхованию на случай наступления смерти лица в возрастном диапазоне $Х$ лет на срок лет $S$— сумма страхования на случай наступления смерти, руб.
Такая фактическая стоимость будет равняться современной вероятностной стоимости обязательств страхователя, так как он оплачивает единовременную премию безусловно и на момент заключения страхового договора.
Теперь рассмотрим обязательства страховщика.
Страховщик должен выплачивать страховую сумму $S$ в случаях смерти застрахованного лица на протяжении срока страхования.
Так как для каждого года страхования существует определенная вероятность наступления смерти, а, следовательно, и вероятность по выплатам, то общая современная вероятностная стоимость выплат будет равняться общности ее современных вероятностных стоимостей за каждый год.
Вероятность выплат на протяжении первого года страхования равняется вероятности наступления смерти лица в процессе перехода от возраста $Х$ лет к возрасту ($х + 1$) год, то есть $s$.
По таблице смертности вероятность наступления смерти при переходе от возрастного диапазона $Х$ лет к возрастному диапазону ($s+ d$) лет рассчитывается по формуле:
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где:
- $d$ является показателем численности лиц, которые умирают при переходе от возраста $Х$ лет к возрасту $ (х + 1)$ год;
- 4 является показателем таблицы смертности, характеризующим численность лиц, которые доживают до возраста $Х$ лет.
Вероятностная стоимость выплаты (ее математическое ожидание) для первого года равняется произведению страховой суммы B, на вероятность выплаты, то есть, чтобы получить современную вероятностную стоимость выплаты в первый год страхования, нужно вероятностную стоимость умножать на дисконтирующий коэффициент. Притом для простоты будем считать, что все выплаты производятся в конце года, в связи с этим применяют дисконтирующий коэффициент за 1 год $D^*X$. Таким образом, современная вероятностная стоимость выплаты на протяжении первого года страхования равняется 5.
Вероятность выплаты на протяжении второго года равняется вероятности того, что застрахованное лицо доживет до второго года страхования, то есть до возраста ($х + S$) и умрет на протяжении этого года (то есть при переходе от возраста $(х + B)$ к возрасту $(х + D) $ года). Таким образом, вероятности выплат на протяжении второго года равняется произведению вероятности s дожития лица в возрасте $Х$ лет до возраста $ (х + B) $ на вероятность $S$, смерти в случае перехода к возрасту $ (х + 2) $.
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Таким образом, вероятностная стоимость выплат на первом году страхования, которая равняется произведению суммы страхования $S$ на вероятность выплаты в таком году, составит $l —V$.
Применяя ранее принятую гипотезу о том, что все выплаты производятся к концу года, можно найти современную вероятностную цену выплат для второго года страхования, которая станет равняться $S$.
