Динамическая система. Использование динамической системы в нефтегазовой отрасли
Динамическая система – это множество элементов, для каждого из которых задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве.
Динамическая система дает возможность описывать и изучать эволюцию системы во времени. Состояние динамической системы во времени описывается множеством векторов или вещественных чисел, которые соответствуют определенной точке в пространстве состояний. Эволюция данной системы определяется через детерминированную функцию, то есть через установленный промежуток времени динамическая система примет определенное состояние, которое зависит от текущего.
Фазовое пространство динамической системы – это совокупность всех возможных состояний динамической системы.
Различают следующие виды динамических систем:
- Система с непрерывным временем
- Система с дискретным временем.
Динамические системы с дискретным временем называют каскадами, описываются такие системы последовательностью состояния. Системы с непрерывным временем называют потоками, состояние такой системы определено для каждого момента времени на комплексной или вещественной оси. Динамическая система очень часто описывается автономной системой дифференциальных уравнений, задаваемой в некоторой области и при этом удовлетворяющая условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения.
Основное содержание общей теории динамической системы представляет собой исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Оно состоит из разбивки фазового пространства и исследования предельного поведения этих траекторий: выделение репеллеров и аттракторов многообразий, а также классификация и поиск положений равновесия. Самое важное понятие теории динамической системы - устойчивость состояний равновесия, представляющее собой способность системы долго оставаться около положения равновесия или на заданном множестве, при малых изменениях начальных условий. Еще одним важным состоянием является грубость системы - способность сохранять свои начальные свойства при малых изменениях математической модели.
Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований в областях, в которых широко используются и сочетаются между собой методы из разных разделов математики, например, теории особенностей, алгебры, теории катастроф, топологии, теории дифференциальных форм, алгебраической геометрии. Общая теория динамической системы очень востребована в таких разделах естественных наук, как синергетика, неравновесная термодинамика, теория динамического хаоса.
Теория динамической системы используется в нефтегазовой отрасли для описания процесса добычи полезного ископаемого, учитывая взаимодействие между отбором воды, ее закачкой и отбором полезного ископаемого. результаты исследований применяются для прогнозирования показателей добычи полезного ископаемого, а также разработки стратегии для поддержания пластового давления с целью увеличения эффективности процесса разработки месторождения.
Задание динамической системы
Для задания динамической системы необходимо:
- Описать ее фазовое пространство.
- Описать множество моментов времени.
- Задать некое правило, которое описывает перемещение точек фазового пространства со временем.
Множество моментов времени может представлять собой как интервал вещественной прямой, так и множество натуральных чисел. Когда множество моментов времени представляет собой множество натуральных чисел, то перемещение точек фазового пространства имеет вид скачков из одной точки в другую: траектория такой динамической системы - не гладкая кривая, а большое количество точек (такая система называется орбита).
Если даже имеется какое-либо задание динамической системы, то не всегда возможно описать и найти ее траектории в явном виде. Поэтому, как правило, рассмотрению подлежат простые, но более содержательные вопросы, касающиеся поведения системы. Например: есть ли у динамической системы возможность вернуться в начальное состояние в стадии эволюции (имеются замкнутые фазовые кривые); какая информация содержится в динамических системах, близких к рассматриваемой; каким образом устроены инвариантные многообразия; какую информацию можно получить при изучении типичной динамической системы определенного класса; как устроено множество в фазовом пространстве (аттрактор системы), к которому, как правило, стремится большинство траекторий; как ведут себя траектории, которые были выпущены из близких точек (уходят они со временем на значительное расстояние или остаются близкими).
