Случайные величины

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины и закона ее распределения. Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений. Случайная величина называется дискретной (прерывной), если множество значений конечное, или бесконечное, но счетное. Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, бесконечное несчетное множество значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси. Выборка случайной величины . Интервал изменения : . Характеристики: среднее значение:; дисперсия: ; среднеквадратическое отклонение: : асимметрия: ; эксцесс: Функция плотности распределения (ФПР) случайной величины ; - параметры ФПР . КВАНТИЛЬ, МОДА, МЕДИАНА Кванти́ль в математической статистике— значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилем или перцентилем. Например, фраза «для развитых стран 95-процентиль продолжительности жизни составляет 100 лет» означает, что ожидается, что 95 % людей не доживут до 100 лет. Квантилем уровня ( или просто -квантилем), называют такое значение случайной величины , при котором функция распределения принимает значение, равное . То есть квантиль, это решение уравнения: Медианой распределения называется квантиль, отвечающий значению . То есть . Из определения следует Модой непрерывного распределения называется значение случайной величины, при котором плотность распределения достигает максимума: для всех (или для . Если мода единственна, то распределение называют унимодальным , если плотность распределения имеет два или несколько локальных экстремумов, то распределение называется бимодальным или полимодальным. Примеры функций плотности распределения случайной величины. Давление в газопроводе: Функция распределения случайной величины называется функция , выражающая для каждого вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее : . Функцию иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Общие свойства функции распределения: 1.Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей. 2 Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси. 3 На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице. 4 Вероятность попадания случайной величины в интервал (включая ) равна приращению ее функции распределения на этом интервале ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН РАВНОМЕРНЫЙ ЗАКОН. В случае, когда различные значения случайной величины имеют одинаковые плотности вероятностей, возникает закон равномерной плотности. Он находит. широкое применение в технике, экономике и в гуманитарных науках. С помощью этого закона моделируются случайные величины и случайные процессы. Плотность вероятности закона выражается зависимостью: , где а и в – ближний и дальний пределы изменения случайной величины. Числовые характеристики закона равномерной плотности вычисляются по формулам: ; График распределения плотности вероятности закона равномерной плотности БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН. Возникает при условиях: 1) в результате одного испытания может появиться одно из двух противоположных событий А и В; 2) вероятности событий А и В не меняются от опыта к опыту; 3) испытания производятся по схеме с возвращением, т.е. после каждого испытания условия появления события А и В приводятся в первоначальное состояние. – число сочетаний из S элементов по m раз; р – вероятность появления события А при одном испытании; q – вероятность появления события В, противоположного событию А; m и n – соответственно числа появления события А и события В при S – испытаниях. При этом m + n = S. Числовые характеристики биноминального закона вычисляются по формулам. Математическое ожидание: M(m)=Sp; Дисперсия D(m)= Spq. Графики распределения вероятностей биноминального закона при S = 20 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН. Если вероятность события в биномиальном законе стремится к нулю и произведение РS стремится к бесконечности, биноминальный закон преобразуется в нормальный. Плотность вероятности нормального закона выражается с помощью зависимости: , – математическое ожидание случайной величины (параметр положения); σ – среднее квадратическое отклонение (параметр формы). Функция плотности распределения для нормального закона в зависимости от среднего квадратического отклонения Важные свойства: Если , то ; Если , то ; Если , то ; Отсюда - Правило шести сигм ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОЕ В том случае, когда логарифм рассматриваемой случайной величины распределен нормально, возникает логарифмически-нормальный закон. Плотность вероятности логарифмически-нормального закона описывается зависимостью: , – математическое ожидание (параметр положения); – математическое ожидание (параметр формы). Функция плотности распределения для логарифмически нормального закона. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ χ-КВАДРАТ ПИРСОНА В случае, когда случайная величина представляет собой последовательность квадратов случайной величины, возникает закон распределения χ-квадрат Пирсона. Плотность вероятности закона выражается зависимостью: где – частные значения случайной величины; n – число наблюдений (число степеней свободы); – гамма-функция Эйлера/ Функция плотности распределения вероятности χ-квадрат Пирсона в зависимости от числа наблюдений По мере увеличения числа наблюдений n закон распределения χ-квадрат Пирсона приближается к нормальному закону. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮТЕНТА (t – распределение) Если имеются две случайные величины x и y и первая из них центрированная и нормированная распределена по нормальному закону, а вторая по закону χ-квадрат Пирсона, то их отношение: образует распределение Стьюдента, плотность вероятности которого выражается зависимостью: где t – случайная величина; n – число испытаний (степеней свободы). Закон является однопараметрическим. Параметром является число степеней свободы . Следует отметить, что при n → ∞ t-распределение стремится к нормальному закону. Распределение Стьюдента (по сравнению с нормальным законом) приписывает большую вероятность большим отклонениям и меньшую – малым отклонениям. Функции плотности распределения вероятности нормального закона и закона Стьюдента. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН В случае, когда рассматриваемое явление характеризуется внезапными отказами изделия (например, в теории надежности), распределение времени их возникновения описывается с помощью показательного закона, плотность вероятности которого имеет вид: где t – случайная величина, например время работы ЭЦН до его внезапного отказа; – математическое ожидание случайной величины (параметр положения); μ – интенсивность (среднее число событий в единицу времени). Функция плотности распределения вероятности показательного закона ЗАКОН ВЕЙБУЛЛА Плотность вероятности закона Вейбула выражается зависимостью: где t – случайная величина; n – параметр формы; μ – параметр масштаба. r – случайная величина, вызываемая, например, радиальным биением вала, (эксцентриситетом), несоосностью деталей и т.д. Закон Вейбулла преобразуется в показательный закон при n = 1 и в закон Релея при n = 2. При n = 3,25 закон Вейбулла преобразуется в нормальный закон. Функция плотности распределения вероятности закона Вейбулла ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Гамма-распределение представляет собой суперпозицию, т.е. наложение нескольких показательных законов. Плотность вероятности такого закона выражается зависимостью: где t – случайная величина, например время; – параметр, численно равный числу складываемых показательных законов;λ – параметр, численно равный интенсивности числа событий каждого из складываемых законов; – гамма-функция Эйлера. При = 1 гамма-распределение преобразуется в показательный закон, а при = 2 – в закон Эрланга первого порядка. При и гамма-распределение преобразуется в закон распределения χ-квадрат Пирсона. Функции плотности распределения вероятности гамма-распределения в зависимости от параметров α и λ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА (F-распределение) Если имеются две случайные величины, распределенные по законам χ-квадрат Пирсона со степенью свободы К1 и К2 , то их отношение образует распределение Фишера: . Функции плотности распределения вероятности закона Фишера в зависимости от параметров К1 и К2 При К → ∞ F-распределение преобразуется в нормальный закон. F- распределение применяется в дисперсионном анализе и при проверке адекватности математической модели. КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ В теории математической статистики для проверки соответствия экспериментальных данных выбранному виду гипотетического распределения разработан широкий ряд достаточно строгих аналитических критериев согласия: Пирсона (), типа Колмогорова-Смирнова, и другие. Критерий Пирсона. Проверка гипотезы о соответствии эмпирического распределения исследуемой случайной величины предполагаемому теоретическому (гипотетическому) распределению на основе критерия Пирсона () [17, 31, 70, 72] возможна для любых видов функции , значения параметров которых неизвестны. Именно такой случай имеет место при статистической обработке данных усталостных испытаний. Процедура использования критерия заключается в следующем. Исследуемая выборка случайной величины , разбивается на интервалов, ширина которых обычно принимается одинаковой. Для каждого интервала устанавливается число попаданий в него значений случайной величины (частота). Если интервал содержит менее пяти значений случайной величины, то он объединяется с соседним. Статистикой критерия Пирсона является величина : , где - вероятность попадания случайной величины в -й интервал, рассчитанная в соответствии с гипотетическим законом распределения . Для проверки нулевой гипотезы о соответствии выборочного распределения теоретическому закону необходимо сравнить вычисленную по зависимости величину с критическим значением для уровня значимости и числа степеней свободы , где -число интервалов после объединения, - число параметров, оцениваемых по выборке. Нулевая гипотеза не отвергается, если выполняется неравенство: . Более мощным, по сравнению с критерием Пирсона, является критерий согласия типа Колмогорова-Смирнова, позволяющий проверить соответствие эмпирического распределения любому теоретическому непрерывному распределению , параметры которого заранее известны. В то же время, именно это обстоятельство ограничивает возможность применения критерия типа Колмогорова-Смирнова вследствие того, что параметры функции распределения оцениваются по данным самой выборки , . Критерий согласия типа Колмогорова-Смирнова основан на распределении максимального отклонения накопленной частости от значения функции распределения и используется только для проверки соответствия опытных данных лишь некоторым конкретным функциям распределения. Критерий согласия является, так же как и критерий согласия типа Колмогорова-Смирнова, более мощным, чем , однако процедура его расчета предполагает существенно больший объем вычислений. Пусть в процессе усталостных испытаний образцов получены значения чисел циклов их деформирования до разрушения , . Обозначим случайную величину и представим ее значения в порядке возрастания (в виде вариационного ряда): . Статистика критерия определяется взвешенной суммой квадратов разностей значений между эмпирической и теоретической функциями распределения: . (*) Здесь: - накопленная частость, рассчитываемая в соответствии с выражением: - теоретическая (гипотетическая) функция распределения; - весовая функция, принимающая значение либо , либо имеющая вид: . (**) В том случае, когда , зависимость (*) представляет собой статистику Смирнова, имеющую вид: . Нулевую гипотезу о принадлежности выборки функции распределения не отбрасывают, если выполняется следующее неравенство: , где - критическое значение критерия Смирнова, , , . Статистика (*) при задании функции в виде (**) представляет собой статистику Андерсона-Дарлинга. Для ее расчета используется следующее выражение: . Проверка нулевой гипотезы о соответствии выборочного распределения теоретическому закону выполняется путем сравнения величины вычисленной по формуле с критическим значением критерия Андерсона-Дарлинга: 1,933; 2,492; 3,857. Нулевая гипотеза о соответствии выборки , функции распределения не отклоняется, если выполняется неравенство: , где - уровень значимости (вероятность совершить ошибку первого рода, то есть забраковать верную гипотезу). Критерий согласия Шапиро-Уилка. Для проверки на нормальность выборки случайной величины , , длина которой не превышает 50, случайная величина представляется в виде вариационного ряда в порядке возрастания значений. Статистика критерия Шапиро-Уилка рассчитывается по выражению: , где , а коэффициент вычисляется по зависимости . Значения коэффициентов для приведены в соответствующих таблицах работ. При этом, если четное, то , в противном случае, при нечетном , величина рассчитывается по формуле . Следуя критерию Шапиро-Уилка, гипотеза о подчинении распределения случайной величины нормальному закону принимается, если выполняется следующее неравенство: , где - критическое значение критерия Шапиро-Уилка при уровне значимости . Величина зависит не только от , но и от объема выборки и приводится в справочных таблицах. ПРИМЕР Имеются 10 независимых отсчетов процесса: -0,6 0,33 0,55 0,12 -1,29 -0,5 -1,05 1,95 0,07 1,83 Составляем вариационный ряд: Величины =10, Найдем суммы: и вычислим По таблице определим коэффициенты: Вычисляем Статистика критерия Таблица для определения значений коэффициентов Критические значения критерия Шапиро-Уилка Гипотеза принимается при и отвергается при ; . Задаемся вероятностью принятия гипотезы о принадлежности выборки нормальному закону Гипотеза отвергается. ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МЕТОДАМИ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Функция плотности распределения на основе имеющейся выборки случайной величины . на основе оценок Парзена-Розенблатта представляется в виде: , где - ядерная функций; -параметр размытости, или ширина окна Парзена-Розеньлатта. Примеры ядерных функций: Нормальное Лапласа Фишера Коши Логистическое Епанчикова Равномерное Треугольное Квадратичное Механистическая аналогия ядерных функций Нормальное ядро Ядро Лапласа h=5 h=20 h=5 h=20 Ядро Коши Ядро Епанчикова h=5 h=20 h=5 h=20 АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МЕТОДАМИ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Задана выборка случайной величины: . 1. Выбираем ядерную функцию из числа известных. 2. Определение оптимального значения параметра размытости (): Поиск при котором интеграл качества достигает максимума После решения этой задачи неизвестная функция плотности распределения восстановлена: . Функция плотности распределения с нормальным ядром , где