Методы оптимальных решений – это раздел математики, изучающий теорию и методы поиска наилучших вариантов планирования, а также базовая дисциплина математического и естественнонаучного цикла федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования.
Человечество стремится достичь совершенства. Если говорить о менеджменте, то люди хотят составить не просто «какую-нибудь» производственную программу, а ту, которая принесет наилучшие результаты при наименьших затратах. Без такого подхода выживание в конкурентной среде будет затруднено. Математическая теория оптимизации служит для приближения к такому совершенству.
Для того, чтобы при принятии реальных экономических решений выработать ориентиры и отбраковать заведомо непригодные варианты, используют формализованные математические методы. Математические методы бывают численными и аналитическими. Они позволяют:
В реальности экономическая ситуация слишком сложна для того, чтобы абсолютно адекватно сформировать ее математический образ для эффективной работы с ним. В любом случае окончательное решение принимает человек.
Экономисты-прикладники интересуются двумя типами задач:
В исследовании операций задачу прогноза называют прямой, а задачу управления – обратной. С точки зрения техники вычислений, первая задача более простая. Так, найти значение функции для конкретного аргумента легче, чем отыскать экстремум (минимум или максимум) функции. Кроме того, решение задачи управления обязательно требует решения прогностической задачи, включает ее как элемент. Поскольку задача управления крайне сложна, в ней применяют упрощенные модели для рассматриваемых объектов. Задачу прогнозирования можно решать с помощью более адекватной реальности, более подробной модели. Поэтому после того, как по простой модели найдено управленческого решение, его часто проверяют на адекватной модели, построенной для прогноза. Для этого пользуются имитационными экспериментами на компьютере.
У теории оптимизации широкая сфера приложения. Она может использоваться не только для решения управленческих задач, но и для:
Менеджмент работает с огромным количеством элементов, находящихся во взаимосвязях. Эти элементы характеризуются:
В математической экономике используется два типа моделей:
В управляемых моделях используются переменных трех групп:
При формулировке оптимизационной проблемы принимается предположение, что все неконтролируемые переменные могут быть заранее точно спрогнозированы. Иными словами, исходят из упрощения, в соответствии с которым в задаче отсутствуют возмущения. Это математическая абстракция, не отражающая экономическую реальность, но облегчающая решение.
Классическая однокритериальная задача оптимизации сводится к тому, чтобы найти максимум функции f по переменным х в пределах множества Х.
Сами модели при этом могут быть как статическими, так и динамическими.
Оптимальным решением такой задачи служит некая точка х0 (или несколько таких точек), принадлежащая множеству допустимых решений, в которых максимизируемая функция f достигает наибольшего значения (в сравнении с остальными допустимыми точками).
На практике часто бывает нужно решить задачу не на максимум, а на минимум – например, минимизировать издержки. С математической точки зрения достаточно изменить знак функции, и тогда задача сведется к поиску максимума, поэтому в общем случае достаточно рассматривать задачи только одного вида – максимизации.
Точку х0 называют положением максимума, точкой максимума, оптимальным решением, оптимальным планом или оптимальной программой (если речь идет о динамических задачах). Значение, которое функция f принимает в точке максимума, называют максимумом функции или величиной максимума на множестве Х.
Величина максимума всегда единственная, в то время как его положений может быть много (если функция имеет одно и то же значение в разных точках). В этом смысле важно не путать максимум с локальными максимумами, которых может быть много (с разными значениями).
Задача оптимизации не обязательно имеет решение. Эти задачи отличаются разнообразием, поэтому до сих пор не сформулирован четкий список необходимых и достаточных условий существования решения. Однако несколько необходимых и несколько достаточных условий известны, и в некоторых случаях они помогают заранее определить, будет ли задача иметь решение. Основные причины отсутствия решений:
