Понятие тождества
Перед тем, как ввести определение тождества вспомним следующее определение:
Область допустимых значений переменной -- это все значения переменных, при которых выражение имеет смысл. В противном случае значение переменной называется недопустимым.
Пример: Выражение 2x−1 не имеет смысла при x=1, то есть область допустимых значений данного выражения D=(−∞;1)(1;+∞)
Тождеством называется верное при любых числах и любых допустимых значениях переменных равенство.
Примеры:
9=32Выражения называются тождественно равными, если они равны при любых допустимых значениях входящих в нее переменных.
Рассмотрим несколько законов тождественных преобразований.
Переместительный закон сложения: От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
a+b=b+aПереместительный закон умножения: От перестановки мест множителей произведение не меняется.
ab=baСочетательный закон сложения:
(a+b)+c=a+(b+c)Сочетательный закон умножения:
(ab)c=a(bc)Распределительный закон:
a(b+c)=ab+acОдними из основных тождеств являются свойства степеней, корней, логарифмов, а также тригонометрические тождества. Приведем далее некоторые из них.
Свойства степеней
- an⋅am=an+m
- anam=an−m
- (ab)n=an⋅bn
- (an)m=anm
- anbn=(ab)n
Свойства корней
- n√ab=n√an√b
- n√ab=n√an√b
- nk√amk=n√am
- n√k√a=nk√a
Здесь область допустимых значений переменных a и b зависит от степени корня и наличия дробного выражения.
Свойства логарифмов
- logaxy =logax +logay
- logaxy =logax −logay
- logaxc =clogax
- loga1x =−logax
- logbx =logax logab
- logab =1logba
- logacx =1clogax
- alogac =c
Здесь a и b положительные, не равные единице числа, а x и y просто положительные числа.
Тригонометрические тождества
- sin2α+cos2α=1
- tg2α+1=1cos2α
- ctg2α+1=1sin2α
- tgα⋅ctgα=1
- sin(α±β) =sinαcosβ+sinβcosα
- cos(α±β) =cosαcosβ−sinαsinβ
- sin2α=2sinαcosα
- cos2α=cos2α−sin2α
Примеры задач на тождественные преобразования
Упростите следующие выражения:
- x−1x34+x12⋅x12+x14x12+1⋅x14+1,
- √x3+√xy2−√x2y−√y34√y5+4√x4y−4√xy4−4√x5,
- 8114−12log94 +25log1258 ,
- 1−cos2α+sin2α1+cos2α+sin2α.
Решение:
- x−1x34+x12⋅x12+x14x12+1⋅x14+1.
- √x3+√xy2−√x2y−√y34√y5+4√x4y−4√xy4−4√x5
- 8114−12log94 +25log1258
- 1−cos2α+sin2α1+cos2α+sin2α
Используя свойство степени 1, получим:
x−1x34+x12⋅x12+x14x12+1⋅x14+1=x−1x12(x14+1)⋅x14(x14+1)x12+1⋅x14+1=Используя свойство корней 3, получим:
√x3+√xy2−√x2y−√y34√y5+4√x4y−4√xy4−4√x5=x√x+y√x−x√y−y√yy4√y+x4√y−y4√x−x4√x=Используя свойство степени 4, получим:
8114−12log94 +25log1258 =912−log94 +52log1258Используя свойство степени 2, получим:
912−log94 +25log1258 =39log94 +52log1258Используя свойства логарифмов 3 и 7, получим:
39log94 +52log1258 =39log94 +5log54По свойству 8 логарифмов, получим:
8114−12log94 +25log1258 =39log94 +5log54 =34+4=4,75Используя тригонометрические тождества 7 и 8, имеем:
1−cos2α+sin2α1+cos2α+sin2α=1−cos2α+sin2a+2sinαcosα1+cos2α−sin2a+2sinαcosαИспользуя тригонометрическое тождество 1, имеем:
1−cos2a+sin2a+2sinαcosα1+cos2α−sin2a+2sinαcosα=2sin2a+2sinαcosα2cos2α+2sinαcosα=sin2a+sinαcosαcos2α+sinαcosα