Понятие тождества
Перед тем, как ввести определение тождества вспомним следующее определение:
Область допустимых значений переменной -- это все значения переменных, при которых выражение имеет смысл. В противном случае значение переменной называется недопустимым.
Пример: Выражение $\frac{2}{x-1}$ не имеет смысла при $x=1$, то есть область допустимых значений данного выражения $D=\left(-\infty ;1\right)(1;+\infty )$
Тождеством называется верное при любых числах и любых допустимых значениях переменных равенство.
Примеры:
\[9=3^2\] \[2\left(x+1\right)=2x+2\] \[\frac{4}{2x+2}=\frac{2}{x+1},\ при\ x\ne -1\]Выражения называются тождественно равными, если они равны при любых допустимых значениях входящих в нее переменных.
Рассмотрим несколько законов тождественных преобразований.
Переместительный закон сложения: От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
\[a+b=b+a\]Переместительный закон умножения: От перестановки мест множителей произведение не меняется.
\[ab=ba\]Сочетательный закон сложения:
\[\left(a+b\right)+c=a+(b+c)\]Сочетательный закон умножения:
\[\left(ab\right)c=a(bc)\]Распределительный закон:
\[a\left(b+c\right)=ab+ac\]Одними из основных тождеств являются свойства степеней, корней, логарифмов, а также тригонометрические тождества. Приведем далее некоторые из них.
Свойства степеней
- $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
- $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
- ${(ab)}^n=a^n\cdot b^n$
- $({a^n)}^m=a^{nm}$
- $\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$
Свойства корней
- $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$
- $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
- $\sqrt[{nk}]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$
- $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[{nk}]{a}$
Здесь область допустимых значений переменных $a$ и $b$ зависит от степени корня и наличия дробного выражения.
Свойства логарифмов
- ${{log}_a xy\ }={{log}_a x\ }+{{log}_a y\ }$
- ${{log}_a \frac{x}{y}\ }={{log}_a x\ }-{{log}_a y\ }$
- ${{log}_a x^c\ }=c{{log}_a x\ }$
- ${{log}_a \frac{1}{x}\ }=-{{log}_a x\ }$
- ${{log}_b x\ }=\frac{{{log}_a x\ }}{{{log}_a b\ }}$
- ${{log}_a b\ }=\frac{1}{{{log}_b a\ }}$
- ${{log}_{a^c} x\ }={\frac{1}{c}{log}_a x\ }$
- $a^{{{log}_a c\ }}=c$
Здесь $a$ и $b$ положительные, не равные единице числа, а $x$ и $y$ просто положительные числа.
Тригонометрические тождества
- ${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1$
- ${tg}^2\alpha +1=\frac{1}{{cos}^2\alpha }$
- $c{tg}^2\alpha +1=\frac{1}{{sin}^2\alpha }$
- $tg\alpha \cdot ctg\alpha =1$
- ${sin \left(\alpha \pm \beta \right)\ }=sin\alpha cos\beta +sin\beta cos\alpha $
- ${cos \left(\alpha \pm \beta \right)\ }=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta $
- $sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha $
- $cos2\alpha ={cos}^2\alpha -{sin}^2\alpha $
Примеры задач на тождественные преобразования
Упростите следующие выражения:
- $\frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1$,
- $\frac{\sqrt{x^3}+\sqrt{xy^2}-\sqrt{x^2y}-\sqrt{y^3}}{\sqrt[4]{y^5}+\sqrt[4]{x^4y}-\sqrt[4]{xy^4}-\sqrt[4]{x^5}}$,
- ${81}^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}{{log}_9 4\ }}+{25}^{{{log}_{125} 8\ }}$,
- $\ \frac{1-cos2\alpha +sin2\alpha }{1+cos2\alpha +sin2\alpha }$.$\ $
Решение:
- $\frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1$.
- $\frac{\sqrt{x^3}+\sqrt{xy^2}-\sqrt{x^2y}-\sqrt{y^3}}{\sqrt[4]{y^5}+\sqrt[4]{x^4y}-\sqrt[4]{xy^4}-\sqrt[4]{x^5}}$
- ${81}^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}{{log}_9 4\ }}+{25}^{{{log}_{125} 8\ }}$
- $\ \frac{1-cos2\alpha +sin2\alpha }{1+cos2\alpha +sin2\alpha }$
Используя свойство степени 1, получим:
\[\frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1=\frac{x-1}{x^{\frac{1}{2}}\left(x^{\frac{1}{4}}+1\right)}\cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}\left(x^{\frac{1}{4}}+1\right)}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1=\] \[=\frac{x-1}{x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}+1=\frac{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)}{x^{\frac{1}{2}}+1}+1=x^{\frac{1}{2}}-1+1=\sqrt{x}\]Используя свойство корней 3, получим:
\[\frac{\sqrt{x^3}+\sqrt{xy^2}-\sqrt{x^2y}-\sqrt{y^3}}{\sqrt[4]{y^5}+\sqrt[4]{x^4y}-\sqrt[4]{xy^4}-\sqrt[4]{x^5}}=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{x}-x\sqrt{y}-y\sqrt{y}}{y\sqrt[4]{y}+x\sqrt[4]{y}-y\sqrt[4]{x}-x\sqrt[4]{x}}=\] \[\frac{\sqrt{x}\left(x+y\right)-\sqrt{y}(x+y)}{\sqrt[4]{y}\left(y+x\right)-\sqrt[4]{x}(y+x)}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{y}-\sqrt[4]{x}}=\frac{-\left(\sqrt[4]{y}-\sqrt[4]{x}\right)(\sqrt[4]{y}+\sqrt[4]{x})}{\sqrt[4]{y}-\sqrt[4]{x}}=-\sqrt[4]{y}-\sqrt[4]{x}\]Используя свойство степени 4, получим:
\[{81}^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}{{log}_9 4\ }}+{25}^{{{log}_{125} 8\ }}=9^{\frac{1}{2}-{{log}_9 4\ }}+5^{2{{log}_{125} 8\ }}\]Используя свойство степени 2, получим:
\[9^{\frac{1}{2}-{{log}_9 4\ }}+{25}^{{{log}_{125} 8\ }}=\frac{3}{9^{{{log}_9 4\ }}}+5^{2{{log}_{125} 8\ }}\]Используя свойства логарифмов 3 и 7, получим:
\[\frac{3}{9^{{{log}_9 4\ }}}+5^{2{{log}_{125} 8\ }}=\frac{3}{9^{{{log}_9 4\ }}}+5^{{{log}_5 4\ }}\]По свойству 8 логарифмов, получим:
\[{81}^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}{{log}_9 4\ }}+{25}^{{{log}_{125} 8\ }}=\frac{3}{9^{{{log}_9 4\ }}}+5^{{{log}_5 4\ }}=\frac{3}{4}+4=4,75\]Используя тригонометрические тождества 7 и 8, имеем:
\[\frac{1-cos2\alpha +sin2\alpha }{1+cos2\alpha +sin2\alpha }=\frac{1-{cos}^2\alpha +{sin}^2a+2sin\alpha cos\alpha }{1+{cos}^2\alpha -{sin}^2a+2sin\alpha cos\alpha }\]Используя тригонометрическое тождество 1, имеем:
\[\frac{1-{cos}^2a+{sin}^2a+2sin\alpha cos\alpha }{1+{cos}^2\alpha -{sin}^2a+2sin\alpha cos\alpha }=\frac{2{sin}^2a+2sin\alpha cos\alpha }{2{cos}^2\alpha +2sin\alpha cos\alpha }=\frac{{sin}^2a+sin\alpha cos\alpha }{{cos}^2\alpha +sin\alpha cos\alpha }\] \[=\frac{sin\alpha (sin\alpha +cos\alpha )}{cos\alpha (sin\alpha +cos\alpha )}=\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=tg\alpha \]
