Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Выражения и тождества

Понятие тождества

Перед тем, как ввести определение тождества вспомним следующее определение:

Определение 1

Область допустимых значений переменной -- это все значения переменных, при которых выражение имеет смысл. В противном случае значение переменной называется недопустимым.

Пример: Выражение 2x1 не имеет смысла при x=1, то есть область допустимых значений данного выражения D=(;1)(1;+)

Определение 2

Тождеством называется верное при любых числах и любых допустимых значениях переменных равенство.

Примеры:

9=32
2(x+1)=2x+2
42x+2=2x+1, при x1
Определение 3

Выражения называются тождественно равными, если они равны при любых допустимых значениях входящих в нее переменных.

Рассмотрим несколько законов тождественных преобразований.

Переместительный закон сложения: От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

a+b=b+a

Переместительный закон умножения: От перестановки мест множителей произведение не меняется.

ab=ba

Сочетательный закон сложения:

(a+b)+c=a+(b+c)

Сочетательный закон умножения:

(ab)c=a(bc)

Распределительный закон:

a(b+c)=ab+ac

Одними из основных тождеств являются свойства степеней, корней, логарифмов, а также тригонометрические тождества. Приведем далее некоторые из них.

Свойства степеней

  1. anam=an+m
  2. anam=anm
  3. (ab)n=anbn
  4. (an)m=anm
  5. anbn=(ab)n

Свойства корней

  1. nab=nanb
  2. nab=nanb
  3. nkamk=nam
  4. nka=nka

Здесь область допустимых значений переменных a и b зависит от степени корня и наличия дробного выражения.

Свойства логарифмов

  1. logaxy =logax +logay 
  2. logaxy =logax logay 
  3. logaxc =clogax 
  4. loga1x =logax 
  5. logbx =logax logab 
  6. logab =1logba 
  7. logacx =1clogax 
  8. alogac =c

Здесь a и b положительные, не равные единице числа, а x и y просто положительные числа.

Тригонометрические тождества

  1. sin2α+cos2α=1
  2. tg2α+1=1cos2α
  3. ctg2α+1=1sin2α
  4. tgαctgα=1
  5. sin(α±β) =sinαcosβ+sinβcosα
  6. cos(α±β) =cosαcosβsinαsinβ
  7. sin2α=2sinαcosα
  8. cos2α=cos2αsin2α

Примеры задач на тождественные преобразования

«Выражения и тождества» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Задача

Упростите следующие выражения:

  1. x1x34+x12x12+x14x12+1x14+1,
  2. x3+xy2x2yy34y5+4x4y4xy44x5,
  3. 811412log94 +25log1258 ,
  4.  1cos2α+sin2α1+cos2α+sin2α. 

Решение:

  1. x1x34+x12x12+x14x12+1x14+1.
  2. Используя свойство степени 1, получим:

    x1x34+x12x12+x14x12+1x14+1=x1x12(x14+1)x14(x14+1)x12+1x14+1=
    =x1x12x12x12+1+1=(x121)(x12+1)x12+1+1=x121+1=x
  3. x3+xy2x2yy34y5+4x4y4xy44x5
  4. Используя свойство корней 3, получим:

    x3+xy2x2yy34y5+4x4y4xy44x5=xx+yxxyyyy4y+x4yy4xx4x=
    x(x+y)y(x+y)4y(y+x)4x(y+x)=xy4y4x=(4y4x)(4y+4x)4y4x=4y4x
  5. 811412log94 +25log1258 
  6. Используя свойство степени 4, получим:

    811412log94 +25log1258 =912log94 +52log1258 

    Используя свойство степени 2, получим:

    912log94 +25log1258 =39log94 +52log1258 

    Используя свойства логарифмов 3 и 7, получим:

    39log94 +52log1258 =39log94 +5log54 

    По свойству 8 логарифмов, получим:

    811412log94 +25log1258 =39log94 +5log54 =34+4=4,75
  7.  1cos2α+sin2α1+cos2α+sin2α
  8. Используя тригонометрические тождества 7 и 8, имеем:

    1cos2α+sin2α1+cos2α+sin2α=1cos2α+sin2a+2sinαcosα1+cos2αsin2a+2sinαcosα

    Используя тригонометрическое тождество 1, имеем:

    1cos2a+sin2a+2sinαcosα1+cos2αsin2a+2sinαcosα=2sin2a+2sinαcosα2cos2α+2sinαcosα=sin2a+sinαcosαcos2α+sinαcosα
    =sinα(sinα+cosα)cosα(sinα+cosα)=sinαcosα=tgα
Дата последнего обновления статьи: 29.01.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Выражения и тождества"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant