Выражения и тождества

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие тождества

Перед тем, как ввести определение тождества вспомним следующее определение:

Определение 1

Область допустимых значений переменной -- это все значения переменных, при которых выражение имеет смысл. В противном случае значение переменной называется недопустимым.

Пример: Выражение $\frac{2}{x-1}$ не имеет смысла при $x=1$ , то есть область допустимых значений данного выражения $D=\left(-\infty ;1\right)(1;+\infty )$

Определение 2

Тождеством называется верное при любых числах и любых допустимых значениях переменных равенство.

Примеры:

$9=3^2$

$2\left(x+1\right)=2x+2$

$\frac{4}{2x+2}=\frac{2}{x+1},\ при\ x\ne -1$

Определение 3

Выражения называются тождественно равными, если они равны при любых допустимых значениях входящих в нее переменных.

Рассмотрим несколько законов тождественных преобразований.

Переместительный закон сложения: От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

$a+b=b+a$

Переместительный закон умножения: От перестановки мест множителей произведение не меняется.

$ab=ba$

Сочетательный закон сложения:

$\left(a+b\right)+c=a+(b+c)$

Сочетательный закон умножения:

$\left(ab\right)c=a(bc)$

Распределительный закон:

$a\left(b+c\right)=ab+ac$

Одними из основных тождеств являются свойства степеней, корней, логарифмов, а также тригонометрические тождества. Приведем далее некоторые из них.

Свойства степеней

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
${(ab)}^n=a^n\cdot b^n$
$({a^n)}^m=a^{nm}$
$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

Свойства корней

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
$\sqrt[{nk}]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}$
$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[{nk}]{a}$

Здесь область допустимых значений переменных $a$ и $b$ зависит от степени корня и наличия дробного выражения.

Свойства логарифмов

${{log}_a xy\ }={{log}_a x\ }+{{log}_a y\ }$
${{log}_a \frac{x}{y}\ }={{log}_a x\ }-{{log}_a y\ }$
${{log}_a x^c\ }=c{{log}_a x\ }$
${{log}_a \frac{1}{x}\ }=-{{log}_a x\ }$
${{log}_b x\ }=\frac{{{log}_a x\ }}{{{log}_a b\ }}$
${{log}_a b\ }=\frac{1}{{{log}_b a\ }}$
${{log}_{a^c} x\ }={\frac{1}{c}{log}_a x\ }$
$a^{{{log}_a c\ }}=c$

Здесь $a$ и $b$ положительные, не равные единице числа, а $x$ и $y$ просто положительные числа.

Тригонометрические тождества

${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1$
${tg}^2\alpha +1=\frac{1}{{cos}^2\alpha }$
$c{tg}^2\alpha +1=\frac{1}{{sin}^2\alpha }$
$tg\alpha \cdot ctg\alpha =1$
${sin \left(\alpha \pm \beta \right)\ }=sin\alpha cos\beta +sin\beta cos\alpha$
${cos \left(\alpha \pm \beta \right)\ }=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta$
$sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha$
$cos2\alpha ={cos}^2\alpha -{sin}^2\alpha$

Примеры задач на тождественные преобразования

«Выражения и тождества» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Задача

Упростите следующие выражения:

$\frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1$ ,
$\frac{\sqrt{x^3}+\sqrt{xy^2}-\sqrt{x^2y}-\sqrt{y^3}}{\sqrt[4]{y^5}+\sqrt[4]{x^4y}-\sqrt[4]{xy^4}-\sqrt[4]{x^5}}$ ,
${81}^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}{{log}_9 4\ }}+{25}^{{{log}_{125} 8\ }}$ ,
$\ \frac{1-cos2\alpha +sin2\alpha }{1+cos2\alpha +sin2\alpha }$ . $\$

Решение:

$\frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1$ .

Используя свойство степени 1, получим:

$\frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1=\frac{x-1}{x^{\frac{1}{2}}\left(x^{\frac{1}{4}}+1\right)}\cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}\left(x^{\frac{1}{4}}+1\right)}{x^{\frac{1}{2}}+1}\cdot x^{\frac{1}{4}}+1=$

$=\frac{x-1}{x^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}+1}+1=\frac{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)}{x^{\frac{1}{2}}+1}+1=x^{\frac{1}{2}}-1+1=\sqrt{x}$

$\frac{\sqrt{x^3}+\sqrt{xy^2}-\sqrt{x^2y}-\sqrt{y^3}}{\sqrt[4]{y^5}+\sqrt[4]{x^4y}-\sqrt[4]{xy^4}-\sqrt[4]{x^5}}$

Используя свойство корней 3, получим:

$\frac{\sqrt{x^3}+\sqrt{xy^2}-\sqrt{x^2y}-\sqrt{y^3}}{\sqrt[4]{y^5}+\sqrt[4]{x^4y}-\sqrt[4]{xy^4}-\sqrt[4]{x^5}}=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{x}-x\sqrt{y}-y\sqrt{y}}{y\sqrt[4]{y}+x\sqrt[4]{y}-y\sqrt[4]{x}-x\sqrt[4]{x}}=$

$\frac{\sqrt{x}\left(x+y\right)-\sqrt{y}(x+y)}{\sqrt[4]{y}\left(y+x\right)-\sqrt[4]{x}(y+x)}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{y}-\sqrt[4]{x}}=\frac{-\left(\sqrt[4]{y}-\sqrt[4]{x}\right)(\sqrt[4]{y}+\sqrt[4]{x})}{\sqrt[4]{y}-\sqrt[4]{x}}=-\sqrt[4]{y}-\sqrt[4]{x}$

${81}^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}{{log}_9 4\ }}+{25}^{{{log}_{125} 8\ }}$

Используя свойство степени 4, получим:

${81}^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}{{log}_9 4\ }}+{25}^{{{log}_{125} 8\ }}=9^{\frac{1}{2}-{{log}_9 4\ }}+5^{2{{log}_{125} 8\ }}$

Используя свойство степени 2, получим:

$9^{\frac{1}{2}-{{log}_9 4\ }}+{25}^{{{log}_{125} 8\ }}=\frac{3}{9^{{{log}_9 4\ }}}+5^{2{{log}_{125} 8\ }}$

Используя свойства логарифмов 3 и 7, получим:

$\frac{3}{9^{{{log}_9 4\ }}}+5^{2{{log}_{125} 8\ }}=\frac{3}{9^{{{log}_9 4\ }}}+5^{{{log}_5 4\ }}$

По свойству 8 логарифмов, получим:

${81}^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}{{log}_9 4\ }}+{25}^{{{log}_{125} 8\ }}=\frac{3}{9^{{{log}_9 4\ }}}+5^{{{log}_5 4\ }}=\frac{3}{4}+4=4,75$

$\ \frac{1-cos2\alpha +sin2\alpha }{1+cos2\alpha +sin2\alpha }$

Используя тригонометрические тождества 7 и 8, имеем:

$\frac{1-cos2\alpha +sin2\alpha }{1+cos2\alpha +sin2\alpha }=\frac{1-{cos}^2\alpha +{sin}^2a+2sin\alpha cos\alpha }{1+{cos}^2\alpha -{sin}^2a+2sin\alpha cos\alpha }$

Используя тригонометрическое тождество 1, имеем:

$\frac{1-{cos}^2a+{sin}^2a+2sin\alpha cos\alpha }{1+{cos}^2\alpha -{sin}^2a+2sin\alpha cos\alpha }=\frac{2{sin}^2a+2sin\alpha cos\alpha }{2{cos}^2\alpha +2sin\alpha cos\alpha }=\frac{{sin}^2a+sin\alpha cos\alpha }{{cos}^2\alpha +sin\alpha cos\alpha }$