В начале вспомним, что представляет собой вектор.
Вектор — это направленный отрезок с определённой длиной. Ниже мы будем говорить про вектор в евклидовом пространстве.
Одной из характеристик положения вектора в пространстве и его направления являются его направляющие косинусы.
Рассмотрим подробнее, что это такое.
Пусть дана система координат $OX, OY, OZ$.
Рассмотрим произвольный вектор $\vec{a}$, берущий начало из центра координат, назовём его ${\vec OM}$. Спроектируем этот вектор на оси координат. Для этого через точку $M$ проведём плоскости, параллельные координатным, а точки пересечения этих плоскостей с координатными осями назовём $M_1, M_2$ и $M_3$.
Тогда проекции $\vec {OM}$ на координатные оси будут равны $\vec {OM_1}=\vec{a_x}, \vec {OM_2}=\vec {M_1N}=\vec{a_y}$ и $\vec {OM_3}=\vec {NM}=\vec{a_z}$.
В таком случае вектор $\vec{a}$ можно выразить через сумму векторов:
$\vec{a}= \vec {OM_1} + \vec {OM_2} + \vec {OM_3}$.
Через единичные векторы данное равенство можно переписать так:
$\vec{a}=\vec{a_x} \cdot i + \vec{a_y} \cdot j + \vec{a_z} \cdot k$.
Эту формулу называют разложением вектора по координатным единичным векторам-ортам. Здесь $\vec{a_x}, \vec{a_y}, \vec{a_z}$ — координаты вектора, чаще всего их записывают как равенство вида $\vec{a}=\{ a_x; a_y; a_z \}$.
Через проекции вектора на оси координат можно выразить его модуль или проще говоря, длину через теорему о длине диагонали параллелипипеда:
$|\vec{a}|^2= a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 \left(1\right)$ или $|\vec{a}|^2= \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.
Пусть углы вектора с осями координат $OX, OY, OZ$ равны соответственно $α, β, γ$. Тогда каждую проекцию на соответствующую ось можно записать так:
$\vec{a_x}=|\vec{a}| \cdot \cos α$;
$\vec{a_y}=|\vec{a}| \cdot \cos β$;
$\vec{a_z}=|\vec{a}| \cdot \cos γ$.
Выразим косинусы:
$\cos α = \frac{a_x}{|a|}$;
$\cos β = \frac{a_y}{|a|}$;
$\cos γ = \frac{a_y}{|a|}$.
Таким образом мы получили с вами направляющие косинусы вектора $\vec{a}$. Подставим эти равенства в выражение $(1)$ и сократим на $|a|$:
$\cos^2 α + \cos^2 β + \cos^2 γ = 1$.
Сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице. Из этого выражения можно сделать вывод, что направляющие косинусы являются координатами единичного направляющего вектора для вектора $\vec{a}$.
Вычислить направляющие косинусы и координаты единичного вектора для $\vec{b}$ с координатами $\{2;4;4\}$.
Решение:
Сосчитаем значение модуля для $\vec{b}$:
$\vec{b}=\sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2}=6$
Теперь используя значения координат вектора найдём косинусы:
$\cos α = \frac{b_x}{|b|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$;
$\cos β = \frac{b_y}{|b|}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$;
$\cos γ = \frac{b_y}{|b|}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
Координаты единичного направляющего вектора равны косинусам для $α, β, γ$ и в общей форме записываются как $\vec{b}=\{ \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3}\}$.
