Возведение в дробную степень

Использование дробей в качестве степеней значительно упрощает жизнь по сравнению с записью выражений с помощью корней. Это связано с тем, что совершать арифметические действия с дробями легче, чем применять и помнить свойства корней. Поэтому ниже мы рассмотрим, как перейти от корней к числу в дробной степени.

Возведение в дробную степень проводится соответственно следующему правилу:

Пусть $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь, причём $p$ и $q$ больше нуля и $q≠1$. Тогда для возведения числа $a$ в дробную степень необходимо извлечь из него корень $q$-ой степени и возвести в степень числителя, равную $p$.

В математической форме это тождество записывается так:

$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}, a≥0, p>0, q>1$.

Это связано с тем, что в таком случае можно прийти к невыполнимому равенству, например:

$-3=(-27)^{\frac{1}{3}}=(-27)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-27)^2}=\sqrt[6]{729}=3$.

Правило для возведения степени в степень в случае, когда показатель степени является дробным числом, выполняется также как и для обычной целой степени, то есть:

Число $a$ в дробной степени вида $\frac{p}{q}$, возведённое в степень $b$, равно числу $a$, возведённому в степень произведения дроби и числа $b$.

В математической форме это выглядит так:

$(a^{\frac{p}{q}})^b= a^{\frac{p \cdot b}{q}}$.

В случае, если необходимо возвести число в десятичную или неправильную дробь, сначала необходимо перевести её в обычную чтобы стали видны показатели степени числа и корня.

Возведение в нецелую отрицательную степень проводится по тем же правилам, что и возведение в целую отрицательную степень, то есть:

Пусть $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь и $q≠1$, а $a>0$, тогда $a^{-\frac{p}{q}}$ равно $\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}$.

Запишем в математической форме:

$a^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}, a>0, p>0, q>1$.