Формулы статистических характеристик

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Пусть нам дан конечный числовой ряд $a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$ . Для этого ряда определятся пять основных статистических характеристик: среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, медиана и мода. По-другому совокупность этих понятий называют показателями центра распределения совокупности.

Среднее арифметическое

Пусть нам дана дискретная совокупность, состоящая из $n$ чисел, тогда

Определение

Среднее арифметическое совокупности чисел называется сумма всех чисел, входящих в совокупность, деленное на их количество, то есть:

$A\left(a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n\right)=\frac{a_1+a_2+\ \dots ,+a_n}{n}=\frac{\sum\limits^n_{i=1}{a_i}}{n}$

Пусть теперь дана непрерывно распределенная совокупность, тогда

Определение

Среднее арифметическое непрерывно распределенной случайной величины на отрезке $[a,b]$ называется величина $\overline{{f(x)}_{\left[a,b\right]}}$ определенная формулой

$\overline{{f(x)}_{\left[a,b\right]}}=\frac{1}{b-a}\int\limits^b_a{f\left(x\right)dx}$

Среднее геометрическое

Пусть нам дан конечный числовой ряд $a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$ , тогда

Определение

Среднее геометрическое совокупности $n$ чисел называется значение величины $G(a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n)$ , определяемое формулой:

$G\left(a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n\right)=\sqrt[n]{a_1a_2\ \dots a_n}={\left(\prod\limits^n_{i=1}{a_i}\right)}^{\frac{1}{n}}$

Среднее гармоническое

Пусть нам дан конечный ряд положительных чисел $a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n>0$ , тогда

Определение

Среднее гармоническое положительных чисел -- число, обратное среднему арифметическому обратных чисел, то есть:

$A^{-1}\left(a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n\right)=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\ \frac{1}{a_2}+\dots +\frac{1}{a_n}}=\frac{n}{\sum\limits^n_{i=1}{\frac{1}{a_i}}}$

«Формулы статистических характеристик» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Медиана

Понятие медианы имеет два определения в зависимости от количества элементов совокупности (четно оно или нечетно).

Пусть количество элементов $a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$ нечетно, тогда

Определение

Медианой для конечного упорядоченного ряда чисел, имеющего нечетное число элементов, называется число, записанное в середине данного ряда, то есть элемент $a_{\frac{n+1}{2}}$ .

Пусть количество элементов $a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$ четно, тогда

Определение

Медианой для конечного упорядоченного ряда чисел, имеющего четное число элементов, называется среднее арифметическое двух чисел, записанных в середине данного ряда, то есть

$m=\frac{a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

Отметим, что любой конечный неупорядоченный числовой ряд можно упорядочить, следовательно, понятие медианы применимо и к произвольным числовым рядам.

Мода

Определение

Мода -- наиболее часто встречающееся значение данного множества.

Пример 1

Дано множество $1, 3, 4, 3, 3, 2, 4, 3$ . Модой данного множества будет элемент 3, так как он встречается чаще остальных (4 раза).

Понятие моды применимо не только к числовым множествам.

Пример 2

Дано множество, состоящее из 5 шариков: красного, двух синих, зеленого и белого. В этом случае модой будет элемент «синий шарик».

В связи с понятием моды можно выделить мультимодальные множества:

Определение

Множество называется мультимодальным, если оно имеет более одной моды.

Пример 3

Пусть дано числовое множество $1, 1, 3, 4, 3, 1, 2, 4, 3$ . Здесь и элемент «1», и элемент «3» встречаются чаще остальных, но при этом одинаковое количество раз. То есть в данном случае мода равняется двум значениям 1 и 3.