При рассмотрении какой-либо величины и её изменения важным является не только понятие среднего арифметического этой величины, но и её отклонение.
Для оценки отклонения и разброса измеряемой величины пользуются несколькими различными критериями, например, абсолютной погрешностью, иначе называемой отклонением от среднего каждой конкретной величины.
Но абсолютная погрешность не является критерием, показывающим разброс измеряемой величины, так как сумма всех абсолютных погрешностей равна нулю.
Поэтому для оценки погрешности вводится другая величина, называемая средним квадратическим отклонением.
Основные понятия
Для объяснения термина «среднеквадратичное отклонение» необходимо ознакомиться с используемой терминологией.
Средним арифметическим или средней величиной называют число, являющееся суммой всех проведённых измерений, разделённой на количество этих измерений.
Для пяти чисел $a_1, a_2, a_3, a_4$ и $a_5$ средняя величина $M$ определяется по формуле
$M=\frac{a_1+ a_2+ a_3+ a_4+ a_5}{5}$.
Со средним арифметическим также связано другое понятие — математическое ожидание.
Математическое ожидание — это значение среднего арифметического некоторой величины при стремлении количества измерений этой величины к бесконечности.
Математическое ожидание также могут обозначать буквой $M$, а среднее арифметическое некоторого количества измерений исследуемой величины могут называть оценкой математического ожидания.
Абсолютной погрешностью измеряемой единичной величины, иногда также называемой вариантой, является её разность со средним значением $M$.
Для того чтобы найти абсолютную погрешность некоторого единичного измерения $x_i$, обозначаемую греческой буквой $Δ$ (произносится как «дельта»), необходимо отнять от измеренного значения $x_i$ среднее арифметическое $M$: $Δx_i=x_i – M$.
Часто для оценки единичного измерения пользуются не только абсолютной погрешностью, но и относительной погрешностью $δ$, она рассчитывается по формуле:
$δ=\frac{|Δx_i|}{M} \cdot 100$%.
Оценив относительную погрешность каждого измерения, можно отбросить значения, погрешность которых слишком большая и при дальнейших расчётах использовать только значения с небольшими относительными погрешностями.
Среднее арифметическое квадратов всех абсолютных погрешностей называют дисперсией и обозначают буквой $D$.
Дисперсия является характеристикой разброса значений некоторой измеряемой случайной величины $x$.
Что такое среднее квадратичное отклонение и как его определять
Теперь перейдём непосредственно к термину «среднеквадратическое отклонение».
Среднеквадратическим отклонением называют значение квадратного корня из дисперсии случайной величины $D$.
Обозначается среднее квадратичное отклонение греческой буквой $ϭ$ (читается как «сигма»).
Формула для среднего квадратичного отклонения для пяти измеренных значений величины $X$ выглядит так:
$ϭ=\sqrt{\frac{Δx_1^2 + Δx_2^2 + Δx_3^2 + Δx_4^2 + Δx_5^2}{5}}$,
где $Δx_1... Δx_5$ — абсолютные погрешности каждого конкретного измерения.
Если дисперсия и, соответственно, среднее квадратическое отклонение достаточно малы, то это значит, что величина большинства погрешностей не велика по модулю и все значения измеряемой величины достаточно близки к среднему.
В идеальном случае когда дисперсия равна нулю, наблюдается соотношение $x_1=x_2=x_3=….=x_n=M$, то есть каждое измеренное значение равно среднему арифметическому.
Покажем, как применять полученную информацию.
Задача:
В ходе эксперимента по физике ребята пять раз измерили напряжение и получили следующие значения: $U_1= 5,22$ В; $U_2= 5,30$ В; $U_3=5,27$ В; В $U_4=5,23$ В; $U_5=5,20$ В. Найдите абсолютные и относительные погрешности каждого измерения, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
Решение:
Найдём среднее арифметическое, оно равно:
$U_ср=\frac{U_1+U_2+ U_3 + U_4 + U_5}{5}=\frac{5,22 + 5,30+ 5,27+5,23+5,20}{5}=5,244$ В.
Теперь найдём абсолютную и относительную погрешность каждого измерения:
$ΔU_1=U_ср-U_1= 5,244-5,22 =0,024; δ_1=\frac{|U_1|}{U_ср} \cdot 100%=\frac{0,024}{5,244}\cdot 100$%$=0.50$%;
$ΔU_2=U_ср-U_2= 5,244-5,30=-0,056; δ_2=\frac{|U_2|}{U_ср} \cdot 100%=\frac{0,056}{5,244}\cdot 100$%$=1,06$%;
$ΔU_3=U_ср-U_3= 5,244-5,27=-0,026; δ_3=\frac{|U_3|}{U_ср}\cdot 100%=\frac{0,026}{5,244}\cdot 100$%$=0,50$%;
$ΔU_4=U_ср-U_4= 5,244-5,23=0,014; δ_4=\frac{|U_4|}{U_ср}\cdot 100%=\frac{0,014}{5,244}\cdot 100$%$=0,25$%;
$ΔU_5=U_ср-U_5= 5,244-5,20=0,044; δ_5=\frac{|U_5|}{U_ср}\cdot 100%=\frac{0,044}{5,244}\cdot 100$%$=0,84$%.
Сосчитаем дисперсию:
$D=\frac{ΔU_1^2+ΔU_2^2+ ΔU_3^2 + ΔU_4^2 + ΔU_5^2}{5}=\frac{0,024^2+ (-0,056)^2 + (-0,026)^2+ 0,014^2 + 0,044^2)}{5}=0,001304$;
И квадратичное отклонение:
$ϭ=\sqrt{D}=\sqrt{0,001304}=0,0361$.
