Среднеквадратичное отклонение

При рассмотрении какой-либо величины и её изменения важным является не только понятие среднего арифметического этой величины, но и её отклонение.

Для оценки отклонения и разброса измеряемой величины пользуются несколькими различными критериями, например, абсолютной погрешностью, иначе называемой отклонением от среднего каждой конкретной величины.

Но абсолютная погрешность не является критерием, показывающим разброс измеряемой величины, так как сумма всех абсолютных погрешностей равна нулю.

Поэтому для оценки погрешности вводится другая величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Основные понятия

Для объяснения термина «среднеквадратичное отклонение» необходимо ознакомиться с используемой терминологией.

Для пяти чисел $a_1, a_2, a_3, a_4$ и $a_5$ средняя величина $M$ определяется по формуле

$M=\frac{a_1+ a_2+ a_3+ a_4+ a_5}{5}$.

Со средним арифметическим также связано другое понятие — математическое ожидание.

Математическое ожидание также могут обозначать буквой $M$, а среднее арифметическое некоторого количества измерений исследуемой величины могут называть оценкой математического ожидания.

Для того чтобы найти абсолютную погрешность некоторого единичного измерения $x_i$, обозначаемую греческой буквой $Δ$ (произносится как «дельта»), необходимо отнять от измеренного значения $x_i$ среднее арифметическое $M$: $Δx_i=x_i – M$.

Часто для оценки единичного измерения пользуются не только абсолютной погрешностью, но и относительной погрешностью $δ$, она рассчитывается по формуле:

$δ=\frac{|Δx_i|}{M} \cdot 100$%.

Оценив относительную погрешность каждого измерения, можно отбросить значения, погрешность которых слишком большая и при дальнейших расчётах использовать только значения с небольшими относительными погрешностями.

Дисперсия является характеристикой разброса значений некоторой измеряемой случайной величины $x$.

Что такое среднее квадратичное отклонение и как его определять

Теперь перейдём непосредственно к термину «среднеквадратическое отклонение».

Среднеквадратическим отклонением называют значение квадратного корня из дисперсии случайной величины $D$.

Обозначается среднее квадратичное отклонение греческой буквой $ϭ$ (читается как «сигма»).

Формула для среднего квадратичного отклонения для пяти измеренных значений величины $X$ выглядит так:

$ϭ=\sqrt{\frac{Δx_1^2 + Δx_2^2 + Δx_3^2 + Δx_4^2 + Δx_5^2}{5}}$,

где $Δx_1... Δx_5$ — абсолютные погрешности каждого конкретного измерения.

Если дисперсия и, соответственно, среднее квадратическое отклонение достаточно малы, то это значит, что величина большинства погрешностей не велика по модулю и все значения измеряемой величины достаточно близки к среднему.

В идеальном случае когда дисперсия равна нулю, наблюдается соотношение $x_1=x_2=x_3=….=x_n=M$, то есть каждое измеренное значение равно среднему арифметическому.

Покажем, как применять полученную информацию.