Теория
Сложение и вычитание корней изучается во вводном курсе математики. Будем считать, что читателю известно понятие степени.
Корень степени n из действительного числа a - это действительное число b, n-ая степень которого равна a: b=n√a,bn=a. Здесь a - подкоренное выражение, n - показатель корня, b - значение корня. Знак корня называют радикалом.
Обратным действию извлечения корня является возведение в степень.
Основные действия с арифметическими корнями:
Рисунок 1. Основные действия с арифметическими корнями. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Как мы видим, в перечисленных действиях нет формулы для сложения и вычитания. Эти действия с корнями производятся в виде преобразований. Для этих преобразований следует использовать формулы сокращённого умножения:
(√a−√b)(√a+√b)=a−b;
(3√a−3√b)(3√a2+3√ab+3√b2)=a−b;
(3√a+3√b)(3√a2−3√ab+3√b2)=a+b;
a√a+b√b=(√a)3+(√b)3=(√a+√b)(a−√ab+b);
a√a−b√b=(√a)3−(√b)3=(√a−√b)(a+√ab+b).
Стоит заметить, что действия сложения и вычитания встречаются в примерах иррациональных выражений: ab√m−n;1+√3.
Примеры
Рассмотрим на примерах случаи, когда применимо "уничтожение" иррациональности в знаменателе. Когда в результате преобразований иррациональное выражение получилось и в числителе, и в знаменателе, то нужно "уничтожить" иррациональность в знаменателе.
1√7−√6=√7+√6(√7−√6)(√7+√6)=√7+√67−6=√7+√61=√7+√6.
В этом примере мы умножили числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Таким образом, в знаменателе выполнено преобразование по формуле разности квадратов.
√a+√b√a−√b=(√a+√b)(√a+√b)(√a−√b)(√a+√b)=(√a+√b)2a−b=a+2√ab+ba−b.
Способ в этом примере аналогичен способу в примере предыдущем.
Рассмотрим ещё один пример, который может встретиться, например, в ЕГЭ.
(√2+√3)⋅(√2−√3)32−2√6+3=(√2+√3)⋅(√2−√3)⋅(√2−sqrt3)22−2√6+3=(2−3)⋅(2−2√6+3)2−2√6+3=−1.
