Теория
Сложение и вычитание корней изучается во вводном курсе математики. Будем считать, что читателю известно понятие степени.
Корень степени $n$ из действительного числа $a$ - это действительное число $b$, $n$-ая степень которого равна $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ Здесь $a$ - подкоренное выражение, $n$ - показатель корня, $b$ - значение корня. Знак корня называют радикалом.
Обратным действию извлечения корня является возведение в степень.
Основные действия с арифметическими корнями:
Рисунок 1. Основные действия с арифметическими корнями. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Как мы видим, в перечисленных действиях нет формулы для сложения и вычитания. Эти действия с корнями производятся в виде преобразований. Для этих преобразований следует использовать формулы сокращённого умножения:
$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$
$(\sqrt[3]a-\sqrt[3]b)(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a-b;$
$(\sqrt[3]a+\sqrt[3]b)(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a+b;$
$a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt{ab}+b);$
$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b).$
Стоит заметить, что действия сложения и вычитания встречаются в примерах иррациональных выражений: $ab\sqrt{m-n}; 1+\sqrt3.$
Примеры
Рассмотрим на примерах случаи, когда применимо "уничтожение" иррациональности в знаменателе. Когда в результате преобразований иррациональное выражение получилось и в числителе, и в знаменателе, то нужно "уничтожить" иррациональность в знаменателе.
$\frac{1}{\sqrt7-\sqrt6}=\frac{\sqrt7+\sqrt6}{(\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)}=\frac{\sqrt7+\sqrt6}{7-6}=\frac{\sqrt7+\sqrt6}{1}=\sqrt7+\sqrt6.$
В этом примере мы умножили числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Таким образом, в знаменателе выполнено преобразование по формуле разности квадратов.
$\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a +\sqrt b)}=\frac{(\sqrt a +\sqrt b)^2}{a-b}=\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{a-b}.$
Способ в этом примере аналогичен способу в примере предыдущем.
Рассмотрим ещё один пример, который может встретиться, например, в ЕГЭ.
$\frac{(\sqrt2+\sqrt3)\cdot(\sqrt2-\sqrt3)^3}{2-2\sqrt6+3}=\frac{(\sqrt2+\sqrt3)\cdot(\sqrt2-\sqrt3)\cdot(\sqrt2-sqrt3)^2}{2-2\sqrt6+3}=\frac{(2-3)\cdot(2-2\sqrt6+3)}{2-2\sqrt6+3}=-1.$
