Вектор в произвольном линейном пространстве — это некоторый элемент этого пространства.
Базисом трёхмерного пространства называют некоторые линейно независимые вектора $a, b$ и $c$, если любой вектор $d$ может быть выражен в виде линейной комбинации этих векторов, то есть существуют некоторые вещественные коэффициенты $λ, μ$ и $ν$, причём такие, что будет соблюдаться условие $d= λ \cdot a + μ\cdot b + ν \cdot c \left( 1 \right)$.
Числа $λ, μ$ и $ν$ называются координатами рассматриваемого вектора относительно некоторого базиса $a, b$ и $c$.
В контексте плоскости базисом будет два независимых вектора, лежащих в этой плоскости, а не три, как в объёмном мире.
Любой вектор $d$ имеет лишь единственное разложение по базису векторов, то есть его координаты задаются однозначно через используемый базис.
Аффинными координатами некоторой точки $M$ в пространстве называются координаты точки относительно базиса пространства $a, b$ и $c$ и некоторой точки $O$, которую принимают за начало координат.
Декартова система координат является примером аффиной системы координат, причём базисные вектора в ней принято обозначать не буквами $a, b$ и $c$, а $i, j$ и $k$, представляющими собой направленные ортогональные между собой отрезки, причём длина каждого равна единице.
Для декартовой системы координат формула разложения выглядит так:
$d = X \cdot \vec{i} + Y \cdot \vec{j} + Z \cdot \vec{k}$
Здесь $X, Y$ и $Z$ — координаты вектора, а $ i, j$ и $k$ — базис.
Через базис декартовой системы координат выражается скалярное произведение векторов, заданных в этом пространстве. Для этого их координаты записываются через специальную матрицу.
Докажите, что вектора, $a_1...a_4$, перечисленные ниже, являются базисом пространства $\mathbb{R^4}$.
$a_1 = (1; 2; -1: -2)$; $a_2 = (2; 3 0; -1)$; $a_3 = (1; 2; 1; 4)$; $a_4 = (1; 3; -1; 0)$
Решение:
Размерность данного пространства равна 4, а это значит, что для проверки того, являются ли эти вектора базисом, нужно доказать их линейную независимость, то есть доказать, что ранг матрицы, составленной из координат этих векторов как из строчек, равен количеству строк.
Составленная матрица имеет вид:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
Преобразуем её к треугольной, для краткости описания выполняемых операций строчки будем записывать (n), здесь $n$ — номер строчки.
1) (4) - (1); (3) - (1); (2) - (1) $\cdot 2$:
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}$
2) (4) + (2):
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ \end{pmatrix}$
3) (4) - (3):
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$
Приведённая матрица имеет ранг 4, а значит данные вектора образуют базис этого пространства.
Пусть вектор $\vec{k}$ можно разложить с использованием базиса $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по формуле $\vec{k}= 5\cdot \vec{a} – 3 \cdot \vec{b}$. Каковы его координаты в соответствии с этим базисом?
Решение:
$\vec{a}$ и $\vec{b}$ — единичные вектора данного двумерного пространства, а это значит, что коэффициенты при них в заданном равенстве и являются координатами в этом базисе:
$\vec{k} = (5; - 3)_{\{a; b\}}$.
Дан базис из трёх векторов $(1; 1; 3), ( -3; 4; 9), (2; -2; 4)$ и вектор $\vec{k}=(8; -9; 6)$. Разложите данный вектор по заданному базису.
Решение:
Воспользуемся формулировкой разложения $(1)$:
$k_1 \cdot (1; 1; 3) + k_2 \cdot ( -3; 4; 9) + k_3 \cdot (2; -2; 4) = (8; -9; 6)$;
Для того чтобы узнать координаты в данном базисе, составим расширенную матрицу, действия со строчками будем записывать как в предыдущем примере:
$\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 8 \\ -1 & 4 & -2 & -9 \\ 3 & 9 & 4 & 6 \\ \end{array}$
1) (2) - (1); (3) - (1) $\cdot 3$:
$\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 18 & -2 & -18 \\ \end{array}$;
2) (1) + (2) $\cdot 3$; (3) - (2) $\cdot 18$:
$\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ \end{array}$;
3) (3) : (-2):
$\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}$;
4) (1) - (3) $\cdot 2$:
$\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}$;
Координатами вектора $\vec{k}$ в заданном базисе будут $(5; - 1; 0)$.
