Первое свойство уравнений
Рассмотрим решение уравнения:
11⋅(x−7)=33;
x−7=33:11;
x−7=3;
x=10.
Уравнение x−7=3 может быть получено из уравнения 11⋅(x−7)=33 после деления левой и правой части уравнения на 11.
Число 10 является корнем уравнения 11⋅(x−7)=33 и x−7=3. Это легко проверить, подставив число 10 в эти уравнения:
11⋅(x−7)=33;
11⋅(10−7)=33;
11⋅3=33;
33=33.
x−7=3;
10−7=3;
3=3.
Первое свойство уравнений:
При умножении или делении левой и правой части уравнения на одно и то же число, которое не равно нулю, корни данного уравнения не изменятся.
Применение первого свойства уравнений
Вычислить корни уравнения
913x−426x=7.
Решение.
Умножим левую и правую часть уравнения на 26. Тогда коэффициент перед x станет целым:
913x−426x=7|⋅26;
9⋅2613x−4⋅2626x=7⋅26;
18x−4x=182;
14x=182;
x=13.
Ответ: x=13.
Вычислить корни уравнения
0,3x−0,4x=3,7.
Решение.
Левую и правую часть уравнения умножим на 10, после чего коэффициенты перед x станут целыми:
0,3x−0,4x=3,7|⋅10;
0,3⋅10⋅x−0,4⋅10⋅x=3,7⋅10;
3x−4x=37;
−x=37.
Домножим левую и правую часть уравнения на –1:
x=−37.
Ответ: x=−37.
Вычислить корни уравнения
(−3x−8)⋅15=60.
Решение.
Левую и правую часть уравнения разделим на 15:
(−3x−8)⋅15=60|∶15;
−3x−8=4;
−3x=12;
x=−4.
Ответ: x=−4.
Вычислить корни уравнения
1,8⋅(4−9x)=5,4.
Решение.
Левую и правую часть уравнения разделим на 1,8:
1,8⋅(4−9x)=5,4|∶1,8;
4−9x=3;
−9x=3−4;
−9x=−1|∶(−9);
x=19.
Ответ: x=19.
Второе свойство уравнений
Рассмотрим пример решения уравнения:
2x+7=11;
2x=11−7;
2x=4;
x=2.
Число 2 является корнем уравнений 2x+7=11 и 2x=11−7.
Уравнение 2x=11−7 было получено после переноса числа +7 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком:
2x=11+(−7).
Второе свойство уравнения:
Любое слагаемое уравнения может быть перенесено из одной его части в другую, при этом необходимо изменить знак слагаемого на противоположный.
Рассмотрим решение уравнения:
5x+1=3x−4.
Отнимем от обеих частей уравнения 3x. Тогда x останется лишь в левой части:
5x+1=3x−4|−3x;
5x−3x+1=3x−3x−4;
2x+1=−4;
2x=−4−1;
x=−2,5.
Число –2,5 – корень уравнений 5x+1=3x−4 и 2x+1=−4.
Также второе свойство уравнения может быть сформулировано следующим образом:
При одновременном добавлении к левой и правой части уравнения одного и того же числа корни уравнения останутся неизменными. При одновременном вычитании из левой и правой части уравнения одного и того же числа корни уравнения останутся неизменными.
Применение второго свойства уравнений
Вычислить корни уравнения
7x−5=3x+1.
Решение.
Согласно второму свойству уравнений перенесем в левую часть уравнения слагаемые с неизвестным, а в правую – остальные.
7x+(−3x)=1+5;
4x=6;
x=64;
x=1,5.
Ответ: x=1,5.
Вычислить корни уравнения
2,7x−4=0,8x−4.
Решение.
Согласно второму свойству уравнений перенесем в левую часть уравнения слагаемые с неизвестным, а в правую – остальные.
2,7x+(−0,8x)=−4+4;
1,5x=0;
x=0.
Ответ: x=0.
Вычислить корни уравнения
13⋅(9x−6)−7=10⋅(15x+730).
Решение.
Раскроем скобки:
13⋅9x−13⋅6−7=10⋅15x+10⋅730;
3x−2−7=2x+73;
3x−9=2x+73.
Согласно второму свойству уравнений перенесем в левую часть уравнения слагаемые, которые содержат неизвестное, а в правую – остальные.
3x−2x=73+9;
x=73+273;
x=7+273;
x=343;
x=1113.
Ответ: x=1113.
Вычислить корни уравнения
7−x6=19x−118.
Решение.
Согласно основному свойству пропорции:
7−x6=19x−118;
8⋅(7−x)=6⋅(19x−11).
Раскроем скобки в обоих частях уравнения:
8⋅7−8⋅x=6⋅19x−6⋅11;
56−8x=114x−66.
Перенесем все слагаемые с неизвестным влево, а остальные – вправо:
−8x−114x=−66−56;
−122x=−122;
x=1.
Ответ: х=1.
При решении уравнений они приводились к виду
ax=b,
где a≠0.
Уравнения вида ax=b при a≠0 называются линейными уравнениями с одним неизвестным.