Решение уравнений

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Первое свойство уравнений

Рассмотрим решение уравнения:

$11 \cdot (x-7)=33$;

$x-7=33:11$;

$x-7=3$;

$x=10$.

Уравнение $x-7=3$ может быть получено из уравнения $11 \cdot (x-7)=33$ после деления левой и правой части уравнения на $11$.

Число $10$ является корнем уравнения $11 \cdot (x-7)=33$ и $x-7=3$. Это легко проверить, подставив число $10$ в эти уравнения:

$11 \cdot (x-7)=33$;

$11 \cdot (10-7)=33$;

$11 \cdot 3=33$;

$33=33$.

$x-7=3$;

$10-7=3$;

$3=3$.

Первое свойство уравнений:

Замечание 1

При умножении или делении левой и правой части уравнения на одно и то же число, которое не равно нулю, корни данного уравнения не изменятся.

Применение первого свойства уравнений

Пример 1

Вычислить корни уравнения

$\frac{9}{13} x-\frac{4}{26} x=7$.

Решение.

Умножим левую и правую часть уравнения на $26$. Тогда коэффициент перед $x$ станет целым:

$\frac{9}{13} x-\frac{4}{26} x=7 | \cdot 26$;

$\frac{9 \cdot 26}{13} x-\frac{4 \cdot 26}{26} x=7 \cdot 26$;

$18x-4x=182$;

$14x=182$;

$x=13$.

Ответ: $x=13$.

Пример 2

Вычислить корни уравнения

$0,3x-0,4x=3,7$.

Решение.

Левую и правую часть уравнения умножим на $10$, после чего коэффициенты перед $x$ станут целыми:

$0,3x-0,4x=3,7 | \cdot 10$;

$0,3 \cdot 10 \cdot x-0,4 \cdot 10 \cdot x=3,7 \cdot 10$;

$3x-4x=37$;

$-x=37$.

Домножим левую и правую часть уравнения на $–1$:

$x=-37$.

Ответ: $x=-37$.

Пример 3

Вычислить корни уравнения

$(-3x-8) \cdot 15=60$.

Решение.

Левую и правую часть уравнения разделим на $15$:

$(-3x-8) \cdot 15=60 |∶15$;

$-3x-8=4$;

$-3x=12$;

$x=-4$.

Ответ: $x=-4$.

Пример 4

Вычислить корни уравнения

$1,8 \cdot (4-9x)=5,4$.

Решение.

Левую и правую часть уравнения разделим на $1,8$:

$1,8 \cdot (4-9x)=5,4 |∶1,8$;

$4-9x=3$;

$-9x=3-4$;

$-9x=-1 |∶(-9)$;

$x=\frac{1}{9}$.

Ответ: $x=\frac{1}{9}$.

«Решение уравнений» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Второе свойство уравнений

Рассмотрим пример решения уравнения:

$2x+7=11$;

$2x=11-7$;

$2x=4$;

$x=2$.

Число $2$ является корнем уравнений $2x+7=11$ и $2x=11-7$.

Уравнение $2x=11-7$ было получено после переноса числа $+7$ из левой части уравнения в правую с противоположным знаком:

$2x=11+(-7)$.

Второе свойство уравнения:

Замечание 2

Любое слагаемое уравнения может быть перенесено из одной его части в другую, при этом необходимо изменить знак слагаемого на противоположный.

Рассмотрим решение уравнения:

$5x+1=3x-4$.

Отнимем от обеих частей уравнения $3x$. Тогда $x$ останется лишь в левой части:

$5x+1=3x-4 |-3x$;

$5x-3x+1=3x-3x-4$;

$2x+1=-4$;

$2x=-4-1$;

$x=-2,5$.

Число $–2,5$ – корень уравнений $5x+1=3x-4$ и $2x+1=-4$.

Также второе свойство уравнения может быть сформулировано следующим образом:

Замечание 3

При одновременном добавлении к левой и правой части уравнения одного и того же числа корни уравнения останутся неизменными. При одновременном вычитании из левой и правой части уравнения одного и того же числа корни уравнения останутся неизменными.