Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Решение уравнений

Первое свойство уравнений

Рассмотрим решение уравнения:

11(x7)=33;

x7=33:11;

x7=3;

x=10.

Уравнение x7=3 может быть получено из уравнения 11(x7)=33 после деления левой и правой части уравнения на 11.

Число 10 является корнем уравнения 11(x7)=33 и x7=3. Это легко проверить, подставив число 10 в эти уравнения:

11(x7)=33;

11(107)=33;

113=33;

33=33.

x7=3;

107=3;

3=3.

Первое свойство уравнений:

Замечание 1

При умножении или делении левой и правой части уравнения на одно и то же число, которое не равно нулю, корни данного уравнения не изменятся.

Применение первого свойства уравнений

Пример 1

Вычислить корни уравнения

913x426x=7.

Решение.

Умножим левую и правую часть уравнения на 26. Тогда коэффициент перед x станет целым:

913x426x=7|26;

92613x42626x=726;

18x4x=182;

14x=182;

x=13.

Ответ: x=13.

Пример 2

Вычислить корни уравнения

0,3x0,4x=3,7.

Решение.

Левую и правую часть уравнения умножим на 10, после чего коэффициенты перед x станут целыми:

0,3x0,4x=3,7|10;

0,310x0,410x=3,710;

3x4x=37;

x=37.

Домножим левую и правую часть уравнения на 1:

x=37.

Ответ: x=37.

Пример 3

Вычислить корни уравнения

(3x8)15=60.

Решение.

Левую и правую часть уравнения разделим на 15:

(-3x-8) \cdot 15=60 |∶15;

-3x-8=4;

-3x=12;

x=-4.

Ответ: x=-4.

Пример 4

Вычислить корни уравнения

1,8 \cdot (4-9x)=5,4.

Решение.

Левую и правую часть уравнения разделим на 1,8:

1,8 \cdot (4-9x)=5,4 |∶1,8;

4-9x=3;

-9x=3-4;

-9x=-1 |∶(-9);

x=\frac{1}{9}.

Ответ: x=\frac{1}{9}.

«Решение уравнений» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Второе свойство уравнений

Рассмотрим пример решения уравнения:

2x+7=11;

2x=11-7;

2x=4;

x=2.

Число 2 является корнем уравнений 2x+7=11 и 2x=11-7.

Уравнение 2x=11-7 было получено после переноса числа +7 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком:

2x=11+(-7).

Второе свойство уравнения:

Замечание 2

Любое слагаемое уравнения может быть перенесено из одной его части в другую, при этом необходимо изменить знак слагаемого на противоположный.

Рассмотрим решение уравнения:

5x+1=3x-4.

Отнимем от обеих частей уравнения 3x. Тогда x останется лишь в левой части:

5x+1=3x-4 |-3x;

5x-3x+1=3x-3x-4;

2x+1=-4;

2x=-4-1;

x=-2,5.

Число –2,5 – корень уравнений 5x+1=3x-4 и 2x+1=-4.

Также второе свойство уравнения может быть сформулировано следующим образом:

Замечание 3

При одновременном добавлении к левой и правой части уравнения одного и того же числа корни уравнения останутся неизменными. При одновременном вычитании из левой и правой части уравнения одного и того же числа корни уравнения останутся неизменными.

Применение второго свойства уравнений

Пример 5

Вычислить корни уравнения

7x-5=3x+1.

Решение.

Согласно второму свойству уравнений перенесем в левую часть уравнения слагаемые с неизвестным, а в правую – остальные.

7x+(-3x)=1+5;

4x=6;

x=\frac{6}{4};

x=1,5.

Ответ: x=1,5.

Пример 6

Вычислить корни уравнения

2,7x-4=0,8x-4.

Решение.

Согласно второму свойству уравнений перенесем в левую часть уравнения слагаемые с неизвестным, а в правую – остальные.

2,7x+(-0,8x)=-4+4;

1,5x=0;

x=0.

Ответ: x=0.

Пример 7

Вычислить корни уравнения

\frac{1}{3} \cdot (9x-6)-7=10 \cdot (\frac{1}{5} x+\frac{7}{30}).

Решение.

Раскроем скобки:

\frac{1}{3} \cdot 9x-\frac{1}{3} \cdot 6-7=10 \cdot \frac{1}{5} x+10 \cdot \frac{7}{30};

3x-2-7=2x+\frac{7}{3};

3x-9=2x+\frac{7}{3}.

Согласно второму свойству уравнений перенесем в левую часть уравнения слагаемые, которые содержат неизвестное, а в правую – остальные.

3x-2x=\frac{7}{3}+9;

x=\frac{7}{3}+\frac{27}{3};

x=\frac{7+27}{3};

x=\frac{34}{3};

x=11 \frac{1}{3}.

Ответ: x=11 \frac{1}{3}.

Пример 8

Вычислить корни уравнения

\frac{7-x}{6}=\frac{19x-11}{8}.

Решение.

Согласно основному свойству пропорции:

\frac{7-x}{6}=\frac{19x-11}{8};

8 \cdot (7-x)=6 \cdot (19x-11).

Раскроем скобки в обоих частях уравнения:

8 \cdot 7-8 \cdot x=6 \cdot 19x-6 \cdot 11;

56-8x=114x-66.

Перенесем все слагаемые с неизвестным влево, а остальные – вправо:

-8x-114x=-66-56;

-122x=-122;

x=1.

Ответ: х=1.

При решении уравнений они приводились к виду

ax=b,

где a \ne 0.

Определение 1

Уравнения вида ax=b при a \ne 0 называются линейными уравнениями с одним неизвестным.

Дата последнего обновления статьи: 20.06.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Решение уравнений"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant