Первое свойство уравнений
Рассмотрим решение уравнения:
11⋅(x−7)=33;
x−7=33:11;
x−7=3;
x=10.
Уравнение x−7=3 может быть получено из уравнения 11⋅(x−7)=33 после деления левой и правой части уравнения на 11.
Число 10 является корнем уравнения 11⋅(x−7)=33 и x−7=3. Это легко проверить, подставив число 10 в эти уравнения:
11⋅(x−7)=33;
11⋅(10−7)=33;
11⋅3=33;
33=33.
x−7=3;
10−7=3;
3=3.
Первое свойство уравнений:
При умножении или делении левой и правой части уравнения на одно и то же число, которое не равно нулю, корни данного уравнения не изменятся.
Применение первого свойства уравнений
Вычислить корни уравнения
913x−426x=7.
Решение.
Умножим левую и правую часть уравнения на 26. Тогда коэффициент перед x станет целым:
913x−426x=7|⋅26;
9⋅2613x−4⋅2626x=7⋅26;
18x−4x=182;
14x=182;
x=13.
Ответ: x=13.
Вычислить корни уравнения
0,3x−0,4x=3,7.
Решение.
Левую и правую часть уравнения умножим на 10, после чего коэффициенты перед x станут целыми:
0,3x−0,4x=3,7|⋅10;
0,3⋅10⋅x−0,4⋅10⋅x=3,7⋅10;
3x−4x=37;
−x=37.
Домножим левую и правую часть уравнения на –1:
x=−37.
Ответ: x=−37.
Вычислить корни уравнения
(−3x−8)⋅15=60.
Решение.
Левую и правую часть уравнения разделим на 15:
(-3x-8) \cdot 15=60 |∶15;
-3x-8=4;
-3x=12;
x=-4.
Ответ: x=-4.
Вычислить корни уравнения
1,8 \cdot (4-9x)=5,4.
Решение.
Левую и правую часть уравнения разделим на 1,8:
1,8 \cdot (4-9x)=5,4 |∶1,8;
4-9x=3;
-9x=3-4;
-9x=-1 |∶(-9);
x=\frac{1}{9}.
Ответ: x=\frac{1}{9}.
Второе свойство уравнений
Рассмотрим пример решения уравнения:
2x+7=11;
2x=11-7;
2x=4;
x=2.
Число 2 является корнем уравнений 2x+7=11 и 2x=11-7.
Уравнение 2x=11-7 было получено после переноса числа +7 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком:
2x=11+(-7).
Второе свойство уравнения:
Любое слагаемое уравнения может быть перенесено из одной его части в другую, при этом необходимо изменить знак слагаемого на противоположный.
Рассмотрим решение уравнения:
5x+1=3x-4.
Отнимем от обеих частей уравнения 3x. Тогда x останется лишь в левой части:
5x+1=3x-4 |-3x;
5x-3x+1=3x-3x-4;
2x+1=-4;
2x=-4-1;
x=-2,5.
Число –2,5 – корень уравнений 5x+1=3x-4 и 2x+1=-4.
Также второе свойство уравнения может быть сформулировано следующим образом:
При одновременном добавлении к левой и правой части уравнения одного и того же числа корни уравнения останутся неизменными. При одновременном вычитании из левой и правой части уравнения одного и того же числа корни уравнения останутся неизменными.
Применение второго свойства уравнений
Вычислить корни уравнения
7x-5=3x+1.
Решение.
Согласно второму свойству уравнений перенесем в левую часть уравнения слагаемые с неизвестным, а в правую – остальные.
7x+(-3x)=1+5;
4x=6;
x=\frac{6}{4};
x=1,5.
Ответ: x=1,5.
Вычислить корни уравнения
2,7x-4=0,8x-4.
Решение.
Согласно второму свойству уравнений перенесем в левую часть уравнения слагаемые с неизвестным, а в правую – остальные.
2,7x+(-0,8x)=-4+4;
1,5x=0;
x=0.
Ответ: x=0.
Вычислить корни уравнения
\frac{1}{3} \cdot (9x-6)-7=10 \cdot (\frac{1}{5} x+\frac{7}{30}).
Решение.
Раскроем скобки:
\frac{1}{3} \cdot 9x-\frac{1}{3} \cdot 6-7=10 \cdot \frac{1}{5} x+10 \cdot \frac{7}{30};
3x-2-7=2x+\frac{7}{3};
3x-9=2x+\frac{7}{3}.
Согласно второму свойству уравнений перенесем в левую часть уравнения слагаемые, которые содержат неизвестное, а в правую – остальные.
3x-2x=\frac{7}{3}+9;
x=\frac{7}{3}+\frac{27}{3};
x=\frac{7+27}{3};
x=\frac{34}{3};
x=11 \frac{1}{3}.
Ответ: x=11 \frac{1}{3}.
Вычислить корни уравнения
\frac{7-x}{6}=\frac{19x-11}{8}.
Решение.
Согласно основному свойству пропорции:
\frac{7-x}{6}=\frac{19x-11}{8};
8 \cdot (7-x)=6 \cdot (19x-11).
Раскроем скобки в обоих частях уравнения:
8 \cdot 7-8 \cdot x=6 \cdot 19x-6 \cdot 11;
56-8x=114x-66.
Перенесем все слагаемые с неизвестным влево, а остальные – вправо:
-8x-114x=-66-56;
-122x=-122;
x=1.
Ответ: х=1.
При решении уравнений они приводились к виду
ax=b,
где a \ne 0.
Уравнения вида ax=b при a \ne 0 называются линейными уравнениями с одним неизвестным.