Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s = f(t), где s - путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения это функция времени:
v=v(t)
В момент времени t скорость имеет значение v0=v(t). Рассмотрим момент времени t+Δt. Ему соответствует значение скорости
v1=v(t+Δt)
Приращению времени Δt соответствует приращение скорости
Средним ускорением Δt является отношение
Ускорением ω в момент t называется предел среднего ускорения при Δt стремящемся к 0.
Ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени.
Таким образом, скорость - производная пути s по времени t. Учитывая это, имеем:
Значит, ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.
Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по закону
s=2t35где время t выражается в сек, а путь s -- в см.
Найти ускорение w движущейся точки в момент времени t = 4 сек.
Решение.
По формуле:
ω=v′t=s″Найдем искомое ускорение
s′=(2t35)′=6t25Материальная точка осуществляет движение по закону
s=3t2+2t3где время s измеряется в метрах, а t -- в секундах.
Найти момент времени t в котором ускорение достигает значения 10 секунд.
Решение.
Найдем вторую производную:
s′=(3t2+2t3)′=6t+6t2По формуле:
ω=s″Выразим t
t=ω−612Заменим ускорение значением 10 секунд:
t=10−612=13секСкорость движения тела выражается формулой
v=0,8t3−1,2Найти ускорение тела спустя 12 секунд от начала его движения.
Решение.
Поскольку ускорением является производная от скорости:
ω=v″=(0,8t3−1,2)′′=4,8tЧерез 12 секунд ускорение составит:
ω=4,8⋅12=57,6м/с2Чему равно ускорение точки в момент времени 2 секунды, если закон движения выражается как:
x=3t3+2t2Решение.
Ускорением является вторая производная от скорости. Найдем первую и вторую производную соответственно.
x′=(3t3+2t2)′=9t2+4tВо время равное 2 секунды, ускорение составит:
ω=18⋅2+4=40м/c2В какой момент времени ускорение материальной точке будет равно ную, если закон движения точки:
x=32t3−2t2+t−128Решение.
Найдем первую производную от закона движения:
x′=(32t3−2t2+t−128)′=92t2−4t+1Найдем вторую производную
x″=(92t2−4t+1)′=9t−4Поскольку ускорением является вторая производная, имеем:
ω=x″=9t−4Приравняем полученное ускорение к нулю и выразим время t
9t−4=0