Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s = f(t), где s - путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения это функция времени:
v=v(t)
В момент времени t скорость имеет значение v0=v(t). Рассмотрим момент времени t+Δt. Ему соответствует значение скорости
v1=v(t+Δt)
Приращению времени Δt соответствует приращение скорости
Средним ускорением Δt является отношение
Ускорением ω в момент t называется предел среднего ускорения при Δt стремящемся к 0.
Ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени.
Таким образом, скорость - производная пути s по времени t. Учитывая это, имеем:
Значит, ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.
Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по закону
s=2t35где время t выражается в сек, а путь s -- в см.
Найти ускорение w движущейся точки в момент времени t = 4 сек.
Решение.
По формуле:
ω=v′t=s″Найдем искомое ускорение
s'=\left(\frac{2t^{3} }{5} \right){{'} } =\frac{6t^{2} }{5} \omega =s''=\left(\frac{6t^{2} }{5} \right){{'} } =\frac{12t}{5}Материальная точка осуществляет движение по закону
s=3t^{2} +2t^{3}где время s измеряется в метрах, а t -- в секундах.
Найти момент времени t в котором ускорение достигает значения 10 секунд.
Решение.
Найдем вторую производную:
s'=\left(3t^{2} +2t^{3} \right){{'} } =6t+6t^{2} s''=\left(6t+6t^{2} \right){{'} } =6+12tПо формуле:
\omega =s'' \omega =6+12tВыразим t
t=\frac{\omega -6}{12}Заменим ускорение значением 10 секунд:
t=\frac{10-6}{12} =\frac{1}{3} секСкорость движения тела выражается формулой
v=0,8t^{3} -1,2Найти ускорение тела спустя 12 секунд от начала его движения.
Решение.
Поскольку ускорением является производная от скорости:
\omega =v''=\left(0,8t^{3} -1,2\right){{'} } {{'} } =4,8tЧерез 12 секунд ускорение составит:
\omega =4,8\cdot 12=57,6 м/с^{2}Чему равно ускорение точки в момент времени 2 секунды, если закон движения выражается как:
x=3t^{3} +2t^{2}Решение.
Ускорением является вторая производная от скорости. Найдем первую и вторую производную соответственно.
x'=\left(3t^{3} +2t^{2} \right){{'} } =9t^{2} +4t \omega =x''=\left(9t^{2} +4t\right){{'} } =18t+4Во время равное 2 секунды, ускорение составит:
\omega =18\cdot 2+4=40 м/c^{2}В какой момент времени ускорение материальной точке будет равно ную, если закон движения точки:
x=\frac{3}{2} t^{3} -2t^{2} +t-128Решение.
Найдем первую производную от закона движения:
x'=\left(\frac{3}{2} t^{3} -2t^{2} +t-128\right){{'} } =\frac{9}{2} t^{2} -4t+1Найдем вторую производную
x''=\left(\frac{9}{2} t^{2} -4t+1\right){{'} } =9t-4Поскольку ускорением является вторая производная, имеем:
\omega =x''=9t-4Приравняем полученное ускорение к нулю и выразим время t
9t-4=0 t=\frac{4}{9} сек
