Processing math: 100%

Механический смысл второй производной

Источник статьи

Автор статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s = f(t), где s - путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения это функция времени:

$v = v(t)$

В момент времени t скорость имеет значение $v_0 = v(t)$ . Рассмотрим момент времени $t + \Delta t$ . Ему соответствует значение скорости

$v_1 = v(t + \Delta t)$

Приращению времени $\Delta$ t соответствует приращение скорости

Средним ускорением $\Delta$ t является отношение

Ускорением $\omega$ в момент t называется предел среднего ускорения при $\Delta$ t стремящемся к 0.

Ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени.

Таким образом, скорость - производная пути s по времени t. Учитывая это, имеем:

Значит, ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.

Пример 1

Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по закону

$s=\frac{2t^{3} }{5}$

где время t выражается в сек, а путь s -- в см.

Найти ускорение w движущейся точки в момент времени t = 4 сек.

Решение.

По формуле:

$\omega =v'_{t} =s''$

Найдем искомое ускорение

$s'=\left(\frac{2t^{3} }{5} \right){{'} } =\frac{6t^{2} }{5}$

$\omega =s''=\left(\frac{6t^{2} }{5} \right){{'} } =\frac{12t}{5}$

Пример 2

Материальная точка осуществляет движение по закону

$s=3t^{2} +2t^{3}$

где время s измеряется в метрах, а t -- в секундах.

Найти момент времени t в котором ускорение достигает значения 10 секунд.

Решение.

Найдем вторую производную:

$s'=\left(3t^{2} +2t^{3} \right){{'} } =6t+6t^{2}$

$s''=\left(6t+6t^{2} \right){{'} } =6+12t$

По формуле:

$\omega =s''$

$\omega =6+12t$

Выразим t

$t=\frac{\omega -6}{12}$

Заменим ускорение значением 10 секунд:

$t=\frac{10-6}{12} =\frac{1}{3} сек$

Пример 3

Скорость движения тела выражается формулой

$v=0,8t^{3} -1,2$

Найти ускорение тела спустя 12 секунд от начала его движения.

Решение.

Поскольку ускорением является производная от скорости:

$\omega =v''=\left(0,8t^{3} -1,2\right){{'} } {{'} } =4,8t$

Через 12 секунд ускорение составит:

$\omega =4,8\cdot 12=57,6 м/с^{2}$

«Механический смысл второй производной» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Пример 4

Чему равно ускорение точки в момент времени 2 секунды, если закон движения выражается как:

$x=3t^{3} +2t^{2}$

Решение.

Ускорением является вторая производная от скорости. Найдем первую и вторую производную соответственно.

$x'=\left(3t^{3} +2t^{2} \right){{'} } =9t^{2} +4t$

$\omega =x''=\left(9t^{2} +4t\right){{'} } =18t+4$

Во время равное 2 секунды, ускорение составит:

$\omega =18\cdot 2+4=40 м/c^{2}$

Пример 5

В какой момент времени ускорение материальной точке будет равно ную, если закон движения точки:

$x=\frac{3}{2} t^{3} -2t^{2} +t-128$

Решение.

Найдем первую производную от закона движения:

$x'=\left(\frac{3}{2} t^{3} -2t^{2} +t-128\right){{'} } =\frac{9}{2} t^{2} -4t+1$

Найдем вторую производную

$x''=\left(\frac{9}{2} t^{2} -4t+1\right){{'} } =9t-4$

Поскольку ускорением является вторая производная, имеем:

$\omega =x''=9t-4$

Приравняем полученное ускорение к нулю и выразим время t

$9t-4=0$

$t=\frac{4}{9} сек$

Дата последнего обновления статьи: 15.12.2024

Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot