Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Механический смысл второй производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s = f(t), где s - путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения это функция времени:

v=v(t)

В момент времени t скорость имеет значение v0=v(t). Рассмотрим момент времени t+Δt. Ему соответствует значение скорости

v1=v(t+Δt)

Приращению времени Δt соответствует приращение скорости

Средним ускорением Δt является отношение

Ускорением ω в момент t называется предел среднего ускорения при Δt стремящемся к 0.

Ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени.

Таким образом, скорость - производная пути s по времени t. Учитывая это, имеем:

Значит, ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.

Пример 1

Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по закону

s=2t35

где время t выражается в сек, а путь s -- в см.

Найти ускорение w движущейся точки в момент времени t = 4 сек.

Решение.

По формуле:

ω=vt=s

Найдем искомое ускорение

s=(2t35)=6t25
ω=s=(6t25)=12t5
Пример 2

Материальная точка осуществляет движение по закону

s=3t2+2t3

где время s измеряется в метрах, а t -- в секундах.

Найти момент времени t в котором ускорение достигает значения 10 секунд.

Решение.

Найдем вторую производную:

s=(3t2+2t3)=6t+6t2
s=(6t+6t2)=6+12t

По формуле:

ω=s
ω=6+12t

Выразим t

t=ω612

Заменим ускорение значением 10 секунд:

t=10612=13сек
Пример 3

Скорость движения тела выражается формулой

v=0,8t31,2

Найти ускорение тела спустя 12 секунд от начала его движения.

Решение.

Поскольку ускорением является производная от скорости:

ω=v=(0,8t31,2)=4,8t

Через 12 секунд ускорение составит:

ω=4,812=57,6м/с2
«Механический смысл второй производной» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Пример 4

Чему равно ускорение точки в момент времени 2 секунды, если закон движения выражается как:

x=3t3+2t2

Решение.

Ускорением является вторая производная от скорости. Найдем первую и вторую производную соответственно.

x=(3t3+2t2)=9t2+4t
ω=x=(9t2+4t)=18t+4

Во время равное 2 секунды, ускорение составит:

ω=182+4=40м/c2
Пример 5

В какой момент времени ускорение материальной точке будет равно ную, если закон движения точки:

x=32t32t2+t128

Решение.

Найдем первую производную от закона движения:

x=(32t32t2+t128)=92t24t+1

Найдем вторую производную

x=(92t24t+1)=9t4

Поскольку ускорением является вторая производная, имеем:

ω=x=9t4

Приравняем полученное ускорение к нулю и выразим время t

9t4=0
t=49сек
Дата последнего обновления статьи: 15.12.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Механический смысл второй производной"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant