Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s = f(t), где s - путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения это функция времени:
$v = v(t)$
В момент времени t скорость имеет значение $v_0 = v(t)$. Рассмотрим момент времени $t + \Delta t$. Ему соответствует значение скорости
$v_1 = v(t + \Delta t)$
Приращению времени $\Delta $t соответствует приращение скорости
Средним ускорением $\Delta $t является отношение
Ускорением $\omega $ в момент t называется предел среднего ускорения при $\Delta $t стремящемся к 0.
Ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени.
Таким образом, скорость - производная пути s по времени t. Учитывая это, имеем:
Значит, ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.
Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по закону
\[s=\frac{2t^{3} }{5} \]где время t выражается в сек, а путь s -- в см.
Найти ускорение w движущейся точки в момент времени t = 4 сек.
Решение.
По формуле:
\[\omega =v'_{t} =s''\]Найдем искомое ускорение
\[s'=\left(\frac{2t^{3} }{5} \right){{'} } =\frac{6t^{2} }{5} \] \[\omega =s''=\left(\frac{6t^{2} }{5} \right){{'} } =\frac{12t}{5} \]
Статья: Механический смысл второй производной
Материальная точка осуществляет движение по закону
\[s=3t^{2} +2t^{3} \]где время s измеряется в метрах, а t -- в секундах.
Найти момент времени t в котором ускорение достигает значения 10 секунд.
Решение.
Найдем вторую производную:
\[s'=\left(3t^{2} +2t^{3} \right){{'} } =6t+6t^{2} \] \[s''=\left(6t+6t^{2} \right){{'} } =6+12t\]По формуле:
\[\omega =s''\] \[\omega =6+12t\]Выразим t
\[t=\frac{\omega -6}{12} \]Заменим ускорение значением 10 секунд:
\[t=\frac{10-6}{12} =\frac{1}{3} сек\]Скорость движения тела выражается формулой
\[v=0,8t^{3} -1,2\]Найти ускорение тела спустя 12 секунд от начала его движения.
Решение.
Поскольку ускорением является производная от скорости:
\[\omega =v''=\left(0,8t^{3} -1,2\right){{'} } {{'} } =4,8t\]Через 12 секунд ускорение составит:
\[\omega =4,8\cdot 12=57,6 м/с^{2} \]Чему равно ускорение точки в момент времени 2 секунды, если закон движения выражается как:
\[x=3t^{3} +2t^{2} \]Решение.
Ускорением является вторая производная от скорости. Найдем первую и вторую производную соответственно.
\[x'=\left(3t^{3} +2t^{2} \right){{'} } =9t^{2} +4t\] \[\omega =x''=\left(9t^{2} +4t\right){{'} } =18t+4\]Во время равное 2 секунды, ускорение составит:
\[\omega =18\cdot 2+4=40 м/c^{2} \]В какой момент времени ускорение материальной точке будет равно ную, если закон движения точки:
\[x=\frac{3}{2} t^{3} -2t^{2} +t-128\]Решение.
Найдем первую производную от закона движения:
\[x'=\left(\frac{3}{2} t^{3} -2t^{2} +t-128\right){{'} } =\frac{9}{2} t^{2} -4t+1\]Найдем вторую производную
\[x''=\left(\frac{9}{2} t^{2} -4t+1\right){{'} } =9t-4\]Поскольку ускорением является вторая производная, имеем:
\[\omega =x''=9t-4\]Приравняем полученное ускорение к нулю и выразим время t
\[9t-4=0\] \[t=\frac{4}{9} сек\]
