Поиск значений пределов с корнями мало чем отличается от каких-либо других пределов.
Основная цель в данном случае — это избавление от знака корня с помощью тождественных преобразований.
Например, если необходимо иметь дело с дробью с корнем в знаменателе, можно домножить всё выражение на такой множитель, который позволит получить в знаменателе разность квадратов.
Такой способ хорош если приходится иметь дело с неопределённостями вида $[\frac00]$.
Решите пример: $\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{5-\sqrt{x+20}}$.
Решение:
$\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{5-\sqrt{x+20}} =\frac{0}{0}= \lim_{x \to 5} \frac{(x-5) \cdot (5+\sqrt{x+20})}{(5-\sqrt{x+20})\cdot (5+\sqrt{x+20})}= \lim_{x \to 5} \frac{(x-5) \cdot (5+\sqrt{x+20})} {25-(x+20)}= -\lim_{x \to 5} (5 + \sqrt{x+20}) = -(5+\sqrt{5+20}) = -10$.
Если же приходится иметь дело с неопределённостью, представляющей собой деление бесконечности на бесконечность, то хорошим способом избавиться от неё будет вынос икса с наибольшей степенью за скобки как в числителе, так и в знаменателе и затем его сокращение.
Найдите предел от функции, зависящей от x $f(x)= \frac{x^2 + 5x}{\sqrt{x+6}}$ при $x \to \infty$.
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 5x}{\sqrt{x+6}} = \lim_{x \to infty} \frac{x^2 \cdot(1+\frac{5}{x})}{x^2 \cdot (\sqrt{\frac{x}{x^4} + \frac{6}{x^4}}} = \frac{1+0}{\sqrt{0+0}}=\frac10=\infty$.
Также с корнями встречается и ещё один вид неопределённостей — вычитание бесконечности из бесконечности. Вычисление предела от такого типа разности также хорошо вычисляется посредством домножения на множители, позволяющие выделить, например, разность квадратов.
Найдите, чему равно данное выражение $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-4x} – x)$.
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-4x} – x) =\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-4x} + x) (\sqrt{x^2-4x} – x)}{(\sqrt{x^2-4x} + x)}= \lim_{x \to \infty}\frac{x^2 – 4x - x^2}{(\sqrt{x^2-4x} + x)}= \lim_{x \to \infty} -\frac{4x}{\sqrt{x^2-4x} + x}=-\frac{4}{\sqrt{1-\frac{4}{x}} + 1} = -\frac{4}{\sqrt{1-0}+1} = -2$.
