Понятие предела функции в точке
Пусть функция $f\left(x\right)$ определена на множестве $X$, а число $a$ -- предельная точка для множества $X.$
Определение (окрестностное)
Действительное число $A$ называется пределом функции $f\left(x\right)$ при $x\to a$, если для любой окрестности $O_{\varepsilon }(A)$ точки $A$ существует окрестность $O_{\delta }(a)$ точки $a$ такая, что для любого $x\in X^{\backslash a}$ из окрестности $O_{\delta }(a)$ значения $f(x)$ попадают в окрестность $O_{\varepsilon }(A)$.
Определение (по Коши)
Действительное число $A$ называется пределом функции $f\left(x\right)$ при $x\to a$, если для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$, зависящий от $\varepsilon $ такой, что для любого $x\in X^{\backslash a}$, удовлетворяющих неравенству $\left|x-a\right|
Определение (по Гейне)
Действительное число $A$ называется пределом функции $f\left(x\right)$ при $x\to a$, если для любой последовательности $(x_n)\in X$, сходящейся к числу $a$, последовательность значений $f(x_n)$ сходится к числу $A$.
Свойства пределов
- Ограниченность функции, имеющей предел.
Если функция $f\left(x\right)$ при $x\to a$ имеет конечный предел, равный $A\in R$, то функция $f\left(x\right)$ ограничена при $x\to a$.
- Единственность предела функции.
Функция $f\left(x\right)$ при $x\to a$ имеет конечный предел, равный $A\in R$, то он единственный.
- О пределе промежуточной функции.
Пусть функции $f\left(x\right),\ g\left(x\right)\ и\ h(x)$ с общей областью определения обладают свойствами:
$g(x)\le f(x)\le h(x)$
${\mathop{lim}_{x\to a} g(x)\ }=A={\mathop{lim}_{x\to a} h(x)\ }$
Тогда ${\mathop{lim}_{x\to a} f(x)\ }=A$
- Арифметические свойства предела функции.
Пусть функции $f\left(x\right)\ и\ g\left(x\right)$ с общей областью определения имеют конечные пределы ${\mathop{lim}_{x\to a} f(x)\ }=A$ и ${\mathop{lim}_{x\to a} g(x)\ }=B$
Тогда выполняются равенства
Если при этом известно, что $B\ne 0$, то
Пример задач на нахождение пределов функции.
Найти предел ${\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{x^2-3x+2}{2x^2-2x-1}\ }$
Решение:
Первым этапом в решении пределов функции - просто подстановка числа, к которому стремится независимая переменная:
\[{\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{x^2-3x+5}{2x^2-2x-1}\ }=\frac{1-3+5}{2-2-1}=\frac{3}{-1}=-3\]Ответ: $-3$.
Найти предел ${\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{x^2-3x+2}{2x^2-x-1}\ }$
Решение:
Подставим:
\[{\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{x^2-3x+2}{2x^2-x-1}\ }=\frac{1-3+2}{2-1-1}=\left(\frac{0}{0}\right)\]Получили один из видов неопределенности. Для того чтобы избавиться от нее, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:
\[{\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{x^2-3x+2}{2x^2-x-1}\ }={\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{\left(x-1\right)(x-2)}{\left(x-1\right)(2x+1)}\ }={\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{x-2}{2x+1}\ }\]Теперь снова попробуем подставить:
\[{\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{x-2}{2x+1}\ }=\frac{1-2}{2+1}=-\frac{1}{3}\]Ответ: $-\frac{1}{3}$.
Найти предел ${\mathop{lim}_{x\to \infty } \frac{x^2-3x+2}{2x^2-x-1}\ }$
Решение:
Подставим:
\[{\mathop{lim}_{x\to \infty } \frac{x^2-3x+2}{2x^2-x-1}\ }=\left(\frac{\infty }{\infty }\right)\]Получили еще один вид неопределенности. Для ее раскрытия вынесем за скобки старшую степень:
\[{\mathop{lim}_{x\to \infty } \frac{x^2-3x+2}{2x^2-x-1}\ }={\mathop{lim}_{x\to \infty } \frac{x^2\left(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}\ }={\mathop{lim}_{x\to \infty } \frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{2-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}\ }\]Так как $\mathop{lim}_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$, то получим:
\[{\mathop{lim}_{x\to \infty } \frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{2-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}\ }=\frac{1-0+0}{2-0-0}=\frac{1}{2}\]Ответ: $\frac{1}{2}$.
Найти предел ${\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x+1}}{3x-3}\ }$
Решение:
\[{\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x+1}}{3x-3}\ }=\frac{\sqrt{1+2}-\sqrt{2+1}}{3-3}=\left(\frac{0}{0}\right)\]Получили неопределенность. Умножим и числитель и знаменатель на сопряженное числителю:
\[{\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{2x+1}\right)\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+1}\right)}{(3x-3)\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+1}\right)}\ }=\] \[={\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{x+2-2x-1}{3(x-1)\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+1}\right)}\ }={\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{1-x}{3(x-1)\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+1}\right)}\ }=\] \[={\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{-1}{3\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+1}\right)}\ }\]Теперь снова попробуем подставить:
\[{\mathop{lim}_{x\to 1} \frac{-1}{3\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+1}\right)}\ }=\frac{-1}{3\left(\sqrt{1+2}+\sqrt{2+1}\right)}=-\frac{1}{6\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{18}\]
